椭圆考点集萃.docxVIP

〈〈椭圆》考点集萃 椭圆是圆锥曲线的重要内容，是高考的重要考点，主要考查椭圆的标准方程与几何性质(特别是离心 率).借助椭圆的形式，以椭圆为载体，考查将几何问题转化为代数问题的能力，以及运用函数与方程、数 形结合、分类讨论等数学思想解决问题的能力 ^ 一、椭圆标准方程的求法 例1.在直角坐标系xOy中，中心在原点 O ,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2显,1)到两焦点的 距离之和为 4,3. 求椭圆C的方程； 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于 A、B两点，其中点 A在x轴下方，且 一T AF =3FB.求过O、A、B三点的圆的方程. 分析：本题考查椭圆标准方程的求法，用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，涉及到圆 的方程求法和平面向量等基础知识.其中，椭圆标准方程的求法，一般利用待定系数法进行，利用椭圆的 定义或几何性质解决 2 2 解：(1)设椭圆C :冬十% =1( a》b0)，贝U 2a =4^3，即a = 2^3 .因为点(2*§ , 1)在 a b 8 1 一 x2 y2 . 椭圆上，贝U — +=1，解得b = j3.所以，所求椭圆方程为 一+匕=1. 12 b2 12 3 3 - 为=3(x2 - 3) (2)设点 A(x,y1),B(x2,y2)(y1 0,y2》0)，点 F(3,0) .由 AF =3FB，得 ，即 -y〔 =3y2 J_x^ = -3x2 12 —+ ——+ —1 2 ①，则 FM =(5,y),F2N =(3,y。，F〔M F2N =15 +-y? = 0，又 A, B在椭圆 C 上，所以 y〔 =—3y2 (-3x2 12)2 (-3x2 12)2 .(-3y2)2 12 2 2 _1 12 3 x2 =1 ,解得 y2 10 3 一 L，所以 2.2 3 10 .2 ，、… B(—,——)，代入①得 3 3 A点坐标为(2, - J2 ). 因为 OA AB =0，所以 OA_L AB. 所以过O,A, B三点的圆以OB为直径，其方程为 x2+y2 _1°乂_重y = 0. TOC \o 1-5 \h \z 3 3 评注：椭圆的标准方程的一般求法有两种： 定义法、待定系数法，求解时可能涉及到椭圆的几何性质, 在解题时需要关注椭圆焦点所在的坐标轴对标准方程的影响 ^ 、椭圆的几何性质 2 2 例2.点M是椭圆 与+%=1(a Ab A0 )上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点 F , a b 圆M与y轴相交于P,Q，若APQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 0以及点在椭圆上 0以及点在椭圆上 等信息，将题中条件转化为关于 a、c或b的不等式，从而解决问题 解：不妨设圆 M与椭圆相切于左焦点 F，设M ( y, yM ), -c2，即 PQ2 =4Vm -4C ,由 AMPQ由圆的性质可知： MF =MQ =MP =| -c2，即 PQ2 =4Vm -4C ,由 AMPQ 2 为钝角，即NPMQ 为钝角，贝U cos^PMQ =MP2 为钝角，即 NPMQ 为钝角，贝U cos^PMQ = MP2 MQ2 - PQ22MP MQ 2c2 一 \/2. 2 2 2yM 0,所以 2c - yM 0, 又因为 M (—c,yM )在椭圆上，代入化简得: 2 2 2 2 （a - c ） yM TOC \o 1-5 \h \z / 2 2、2 故2c2（a ■ ■ c ） , , _ c 4 故2c2 2 0,化间得（一）一4（一）+1》0,即 e -4e +10, a a a 解得 e^ 2-43 或 e2 a2+J3，又 e^(0,1)，所以 e2 2—J3，故 0e — . 评注：椭圆的几何性质是需要重点掌握的内容， 要能够熟练地运用性质来分析和解决问题 .其中，椭圆 的离心率作为椭圆的几何性质之一， 是高考的热点，几乎每年高考都要考查离心率问题 .从条件中寻求a与 b或a与c的关系，求出离心率的值或离心率的范围 ^ 三、直线与椭圆的位置关系 例3.已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在 x轴上，且经过点 A(0,2j3),离心率为1 2 求椭圆P的方程； 16 是否存在过点E (0, —4)的直线l交椭圆P于点R, T ,且满足OR OT =三.若存在，求 7 直线l的方程；若不存在，请说明理由. 分析：本题第一问是椭圆的标准方程问题，是简单题；第二问涉及到直线与椭圆的位置关系和平面向 量知识，平面向量的数量积可以转化为椭圆、直线上点的坐标关系，从而求出直线的斜率，确定直线的方 TOC \o 1-5 \h \z 程.本题也可以理解为简单的存在性问题 . 解：（1）设椭圆P的方程为 与+ =1（a》b》0）,由题意得b = 2j^ ,