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第一章 平稳时间序列模型及其特征
第一节 模型类型及其表示
一、自回归模型(AR)
由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关
系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时
期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回
归模型:
X = φX + ε (2.1.1)
t t-1 t
常记作 AR(1)。其中{X }为零均值(即已中心化处理)平稳序列,φ
t
为 X 对 X 的依赖程度,ε 为随机扰动项序列(外部冲击)。
t t-1 t
如果 X 与过去时期直到 X 的取值相关,则需要使用包含 X
t t-p t-
1 ,……Xt-p 在内的 p 阶自回归模型来加以刻画。P 阶自回归模型的一
般形式为:
X = φ X + φ X +…+ φ X + ε (2.1.2)
t 1 t-1 2 t-2 p t-p t
为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设 B
k-1 k
为滞后算子,即 BX =X , 则 B(B X )=B X =X B(C)=C(C 为常数)。
t t-1 t t t-k
利用这些记号,(2.1.2)式可化为:
2 3 p
X = φBX + φB X + φB X +……+ φB X + ε
t 1 t 2 t 3 t p t t
从而有:
2 p
(1-φB- φB -……- φB )X = ε
1 2 p t t
2 P
记算子多项式φ(B)=(1-φB- φB -……- φB ),则模型可以表
1 2 p
示成
φ(B)X = ε (2.1.3)
t t
例如,二阶自回归模型 X =0.7X +0.3X +0.3X + ε 可写成
t t-1 t-2 t-3 t
2
(1-0.7B-0.3B )X = ε
t t
二、滑动平均模型(MA)
有时,序列 X 的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情
t
况下,X 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即
t
X = ε- θ ε - θ ε -……- θ ε (2.1.4)
t t 1 t-1 2 t-2 q t-
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