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简谈常微分方程在经管地位 摘要 随着社会经济的迅速发展，高等数学在 经济管理中的应用越来越广泛. 常微分方程 作为高等数学的一个重要组成部分，本文将 对它在经济管理中的重要应用作初步探索， 主要包括市场均衡价格分析、新产品的销售 速度分析、广告的效果分析三个方面. 关键词常微分方程；经济管理；市场均 衡价格销售速度；广告。 随着社会经济的迅速发展， 数学在我们 的生活中可以说无处不在， 尤其是在经济管 理中的应用越来越广泛. 经济学必须进行定 量研究.而高等数学是对经济管理问题进行 定量研究的最重要、最基本的数学工具之 一.为了研究经济变量之间的联系及其内在 规律，常常需要建立某一经济函数及其导数 所满足的关系式，并由此确定所研究函数的 形式，从而根据一些已知条件来确定该函数 的表达式.从数学上讲，就是建立微分方程 并求解微分方程.用微分方程解决问题时总 有三个主要过程： 第一步是建模，即根据实际问题建立起 适当的微分方程，给出其定解条件.这需要 对问题有深刻的理解，并进行必要的假设， 忽略一些次要因素，选取变量，从这些变量 之间的关系建立起所满足的微分方程， 给出 定解条件.这就是将实际问题数学化.第二 步，求解所建立的微分方程，这包括求出它 的解析解或者数值解，或者从微分方程分析 变量的变化规律.第三步是对所得的数学结 果进行翻译，用来解释一些现象，或对问题 的解决提出建议或方法.本文将通过具体模 型来研究和介绍微分方程在经济管理中的 重要应用.主要包括市场均衡价格分析、新 产品的销售速度分析、广告的效果分析等三 个方面. 1市场均衡价格分析 设有某种商品，其价格主要由市场供求 关系决定，或者说，该商品的供给量 Q与需 求量Q只与该商品的价格 P有关.为简单起 见，设供给函数与需求函数分别为当供给量 与需求量相等时，即CH Qd,由式求得供需 相等时的价格为称为该种商品的均衡价 格.一般地说，当市场上该商品供过于求时， 价格将下跌；供不应求时，价格将上涨.因 此，该商品在市场上的价格将随着时间的变 化而围绕着均衡价格上下波动， 价格P是时 间t的函数P.根据上述供求关系变化影响 价格变化的分析，可以假设时刻价格P的变 化率dP与时刻d的超额需求量一Q成正比， 即设这表明，实际价格P最终趋向于均衡价 格P。 2新产品的销售速度分析 对于开发的某种新产品，生产者非常关 心它的销售速度.那么，怎样建立一个数学 模型来描述它，并由此分析出一些有用的结 果以指导生产呢？ 记时刻t时已售出的新产品数为 X,假 设该产品使用方便，这些正在使用的新产品 实际上起着宣传的作用，吸引着尚未购买的 顾客，设每一个新产品在单位时间内平均吸 引K个顾客，由此可知，X满足微分方程： 这一结果与事实不符.模型只考虑了实 物广告的作用，而忽略了厂家可以通过其他 方式宣传新产品，从而打开销路的可能 性.若通过努力已有 X。的产品投入使用， 这时X式的结果拟合较好.在式中，这也与 事实不符.事实上，X应当有一个上界，设 需求量的上界为K,则尚未使用新产品的户 数为K— x,由统计规律可知，-~X成正比， 比例系数为r,则当￡ 0,即X,单调增加， 这表示在销售量小于最大需求量的一半时， 销售速度X不断增大；当＞to时，0且为常 数.产品的销售速度与广告的投入水平有关， 设A为时刻单位时间的广告投入水平，夕为 投入的响应系数，即投入 A对销售速度 4结语 综上所述，微分方程在经济管理中有着 重要的应用，通过建立数学模型能够解决彳艮 多复杂的实际经济问题. 本文所述只是微分 方程在经济管理中应用的一小部分， 有待于 进一步的探讨.需要指出的是，使用微分方 程解决问题时，要根据实际问题适当地使用 微分方程.随着社会经济的发展，高等数学 将不仅在经济管理方面是一个有效的解决 问题的工具，而且在其它领域，诸如环境治 理、人口预测、传染病的传播、药物在人体 内的分布等方面也会得到越来越多的应用， 为人们解决越来越多的实际问题。 简谈常微 分方程在经管地位