超几何分布及二项分布的联系及区别.doc

超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中 , 总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布 , 二者到底该如何区分呢 ?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题 ?什么时候用超几何分布的公式 去解决呢 ? 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案 , 其实这个问题的回答就出现在教材上 , 人 教版新课标选修 2-3 从两个方面给出了很好的解释 . 诚可谓 : 众里寻他千百度 , 蓦然回首 , 那人却在灯火阑珊处 ! 一、两者的定义是不同的 教材中的定义 : ( 一) 超几何分布的定义 在 含有 M 件次 品的 N 件 产品中 , 任 取 n 件 , 其中恰有 X 件次 品 , 则 P(X=k) k n -k C M C N -M , k 0,1,2， , m, 其中 m=min{M,n}, 且 n≤N,M≤N,n,M,N ∈N,称随机变量 X 服从超 C nN 几何分布 ( 二) 独立重复试验和二项分布的定义 1）独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验 , 且各次试验试验的结果相互独立 , 称为 n 次独立重复试验 , 其中 A(i=1,2, ,n) 是第ⅰ次试验结果 , 则 P(A1 A2A3 An)=P(A1)P(A2)P(A3) P(An) 二项分布 n 次独立重复试验中 , 用 X 表示事件 A 发生的次数 , 设每次试验中事件 A 发生的概率 为 P, 则 P(X=k)= C kn pk (1 p)n k (k=0,1,2, ,n), 此时称随机变量 X 服从二项分布 , 记作 X~B(n,p), 并称 P 为成功概率。 本质区别 超几何分布描述的是不放回抽样问题 , 二项分布描述的是放回抽样问题 ; 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题 ; 二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题 2. 计算公式 超几何分布 : 在含有 M 件次品的 N 件产品中 , 任取 n 件 , 其中恰有 X 件次品 , 则 P(X=k) k n -k C C 二项分布 : 在 n 次独立重复试验中 , 用 X 表示事件 A 发生的次数 , 设每次试验中事件 A 发 生的概率为 P, 则 P(X=k)= C kn pk (1 p) n k (k=0,1,2, ,n), 温馨提示 : 当题目中出现“用样本数据估计 XXX 的总体数据”时 , 均为二项分布问题。比如 2017-2018 高三上学期期末考试 19 题。 二、二者之间是有联系的 人教版新课标选修 2-3 第 59 页习题组第 3 题： . 某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验 , 问: 当 n=500,5000,500000 时, 分别以放回和不放回的方式抽取 , 恰好抽到 1 件次品的概率各是多少 ? 根据 (1) 你对超几何分布与二项分布的关系有何认识 ? 人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明 【解】 (1) 在不放回的方式抽取中 , 每次抽取时都是从这 n 件产品中抽取 , 从而抽到次品的概率都为 . 次品数 X~B(3,, 恰好抽到 1 件次品的概率为 P(X=1)= C 31 ×× 2=3××≈。 在不放回的方式抽取中 , 抽到的次品数 X 是随机变量 ,X 服从超几何分布 ,X 的分布与产品的总数 n 有关 , 所以需要分 3 种情况分别计算 ①n=500 时, 产品的总数为 500 件 , 其中次品的件数为 500×2%=10,合格品的件数为 490. 从 500 件产品中抽出 3 件, 其中恰好抽到 1 件次品的概率为 P( X C101C4902 30 490 489 0.057853 1) 500 499 C5003 498 ②n=5000 时, 产品的总数为 5000 件, 其中次品的件数为 5000× 2%=100,合格品的件数为 4900. 从 5000 件产品中抽出 3 件, 其中恰好抽到 1 件次品的概率为 P( X C1001 C49002 300 4900 4899 1) 5000 4999 0.0576747 C50003 4998 ③n=50000 时 , 产品的总数为 50000 件, 其中次品的件数为 50000× 2%=1000,合格品的件数为 49000. 从 50000 件产品中抽出 3 件, 其中恰好抽到 1 件次品的概 C10001 C490002 3000 49000 48999 P( X 1) 50000 49999 0.057626 C500003 49998 根据 (1) 的计算结果可以看出 , 当产品的总数很大时 , 超几何分布近似为二项分布 . 这也是可以理解的 ,