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一、重难点知识讲解 1、同角的三角函数有三种关系： 平方关系：sin2 a + cos2 a =1; sinm …XK —=球 冏式关系：一一 一:二 : 倒数关系：tan a cot a =1. 它们的主要应用有： 已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个； 化简三角函数式； 证明简单三角包等式等. 同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1” 可以用“ sin 2 a + cos2a ”代换等. 2、 诱导公式有两组，可概括为对k - 90° ± a ( a € Z)的各三角函数值满足规律 “奇变偶不变，符号看象限”，即当 k为偶数时，得a的同名函数；当k为奇 数时，得a的余名函数；然后在前面加一个把a看成锐角时原函数的符号.在 利用诱导公式求任意角的三角函数值时， 不必拘泥丁课本上列出的几个步骤， 可 以结合三角函数的性质，灵活使用. 3、 三角函数的包等变换中最基本、最常见的变换有： 公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中 角、函数、结构的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用； 角度变换：要善丁分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意 能否产生特殊角，正确使用诱导公式及辅助角公式； 函数变换：弦切互化； 1= sin — — cos 0 = tsn— （4） 1 的变换：如 1= sin2 a + cos2a , 1 = tan a cot a , 2 4 等； 2 l + cos2a_ ? 2 l-cos2a 一,,、，」_ , , cos a= ffisn a = ,, 一一 籍的变换：用公式 2 2 来升、降籍. 4、 三角包等变换的基本题型有三种. 求值： 给角求值，其关键是正确分析角问的关系，准确地选用公式，将非特殊角 转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消； 给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有 目的地消化； 给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值， 在对应函数的单调区间 内求解. 化简： 未指明答案的包等变形，应把结果化为最简形式； 根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式， 如一角一函数形式，以 便研究函数的各种性质. 证明： 主要有两种：无条件包等式证明和条件包等式证明. 5、 在求值、化简、证明中应注意的问题有： 三角式化简的目标. 项数尽可能少； 三角函数种类尽可能少； 角尽可能少、小； 次数尽可能低； 分母尽可能不含三角式； 尽可能不带根号； 能求出值的要求出值. （2）二角运算的基本原则. 切割化弦；1 切割化弦；1 异名化同名j （名称分析法） 异角化同角；（角分析法） 高次降皋； 分式通分；*儒构为析法） ?无理化有理;. ⑦常数的处理（特别注意“ 1”的代换） （3）几个重要的三角变换思想 sin a - cos a t凑倍角公式； 1 土 cos a T升籍公式； 1 土 sin a T配方或化为1 土 cos( 2 —a )再升籍； asin a + bcos a t辅助角公式； tg a ± tg 6 t两角和与差的正切公式逆用. 二、例题讲解： 例 1、求证：tan3A — tan2A — tanA=tan3A - tan2A ? tanA. 证明：欲证等式即为 tan3A(1 — tan2A - tanA)=tan2A + tanA, tan2A + tan A tan3A= 即 1 - . 根据正切的和角公式, tan3jl= t^i(2A+A) = tan3jl= t^i(2A+A) = 1 - tan2^tan A结论成立. 小结：1、分析法“执果索因”，便丁寻找解题途径，也是三角包等式证明 中的一种常用方法； 2、本题可以推广如下：若 a = 6 + 丫，贝U tan a — tan 6 — tan y =tan a - tan 6 - tan 丫 .特殊地，若△ ABCH非直角三角形，贝U tanA + tanB + tanC=tanA - tanB - tanC, tan nA+ tan nB+ tan nC=tannA ? tan nB ? tan nC. 例 2、已知 /W= asmrcosr+a+6 (a 丰0)的定义域为[0 ,如，值域 为[—5, 1],求常数a、b的值. 分析：观察函数的特征，需将它化归为形如 y=Asin( 3 x + 4 ) + B型三角函数求 值域，特别注意此时x€ [0 , 2 ],故首先要求出3 x+ 4的范围并进而求出 sin( 3 x +4 )的取值范围，同时注意系数 A的符号. /(x) = 2⑦°°”-4。￡11121+仅 + 力 TOC \o 1-5 \h \z 解： 」 =-(r(co s2x4- an 2