高中椭圆相关知识点复习.docx

第一部分 椭圆相关知识点讲解 二．点与椭圆的位置关系 ： （ 1）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆外 x02 y02 1； a2 b2 （ 2）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆上 x02 y02 ＝ 1； a 2 b 2 （ 3）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内 x02 y02 1 a2 b2 三．椭圆的简单几何性质 椭圆： x2 y 2 1 (a b 0) 的简单几何性质 a2 b2 x 2 y 2 （ 1）对称性： 对于椭圆标准方程 1 (a b 0) ：说明：把 x 换成 x 、或把 y 换 a 2 b2 2 2 成 y 、或把 x 、 y 同时换成 x 、 y 、原方程都不变，所以椭圆 x y 1 是以 x 轴、 a 2 b2 y 轴为对称轴的轴对称图形， 并且是以原点为对称中心的中心对称图形， 这个对称中心称为 椭圆的中心。 （ 2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ， y b 。 （ 3）顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 2 2 ②椭圆 x2 y2 1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为 a b A1 ( a,0) ， A2 ( a,0) ， B1 (0, b) ， B2 (0,b) ③线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1 A22a , B1 B2 2b 。 a 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 三．直线与椭圆的位置关系 ： （ 1）相交： 0 直线与椭圆相交； （ 2）相切： 0 直线与椭圆相切； （ 3）相离： 0 直线与椭圆相离； 四．椭圆 x 2 y 2 1 与 y 2 x 2 1 ( a b 0) 的区别和联系 a 2 b 2 a 2 b 2 6.弦长公式： 若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A 、 B，且 x1 , x2 分别为 A 、 B 的横坐 标，则 AB ＝ 1 k2 x1 x2 ，若 y1, y2 分别为 A 、B 的纵坐标，则 AB ＝ 1 1 y1 y2 。 k 2 7.圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在椭圆 x2 y2 b 2 x0 ； a2 b2 1 中，以 P( x0, y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= － 2 y a 0 第三部分 典型例题分析 类型一：求椭圆的方程 1 、已知椭圆 mx2 3y 2 6m 0 的一个焦点为（ 0， 2）求 m 的值． 2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点 P 3，0 ， a 3b ，求椭圆的标准方程． 3、 ABC 的底边 BC 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G 的轨 迹和顶点 A 的轨迹． 4 、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 4 5 和 2 5 ， 3 3 过 P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 类型二：过中点弦直线方程 x2 2 ，（ ）求过点 P 1 1 且被 P 平分的弦所在直线的方程； 1 已知椭圆 y 1 ， 2 2 2 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； 3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点 P 、 Q ， O 为原点，且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP kOQ 1 ， 2 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程． 2. 4x 2 9y 2 36 相交于 A 、 B 两点，弦 A 、 B 的中点坐标 M 1,1 , 求直 已知一直线与椭圆 线 AB 的方程。 类型三：弦长公式 1 已知椭圆 4x2 y2 1及直线 y x m ． （1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点 （2）若直线被椭圆截得的弦长为 2 10 ，求直线的方程． 5 2、 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 x 轴上的椭圆， 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的 3 直线交椭圆于 A ， B 两点，求弦 AB 的长． 2 3.过椭圆 x y2 1的左焦点作直线与椭圆交于 A 、 B 两点，若弦 AB 的长恰等于短轴长， 9 求直线方程。 x2 y 2 1 a b 0 不平行于对称轴的弦， M 是 PQ 中点， O 为椭圆中心， 4.若 PQ 是椭圆 b2 a2 求证：直线 PQ、 OM 的斜率之积为定值。 5、设 A 、 B 是椭圆 x2 y 2 1 上的两点， O 为坐标原点， 4 （1）若直线 AB 的斜率为 -1，且经过椭圆左焦点，求 AB ; （2）若