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高中物理的数学基础——矢量篇（其二） 百度贴吧 高中物理吧 @浪漫主义学派 2020年2月 9日 1 百度贴吧 高中物理吧 @浪漫主义学派 从二维到三维 此前我们主要讨论二维平面下的矢量。现在我们试图将其扩展到三维。幸运的是，矢量的相关概念和性质大多可以直接照搬至三维。不同之处在于，我们使用的矢量的数乘和加减之定 义需要使用二维坐标系，不能简单照搬。 为此我们必须首先建立三维的空间直角坐标 系。强行在二维纸面上画出三维的坐标系有些困 难，为此我们只能尽量画出图形的立体感。如图1左 所示为立体直角坐标系 O-xyz ，三条坐标轴两两垂 直。 通常我们把 x轴和 y轴配置在水平面上， 而z轴 则是铅垂线。 沿三轴方向的三个单位向量通常记 图 1: 空间直角坐标系 作i , j , k 。 正常情况下， x轴和 y轴 不可随意调换， 要求从 z轴上 方俯视时 ， x轴绕原点逆时针旋转 90? 后与y 轴同向而非反 向 。 有个比较简明的判据， 即如图 1右所示，我们使右手拇指与 z轴同向，则 x轴绕四指旋转的方向旋转 90?后与 y轴同向而非反 向。这种判据被叫做右手螺旋定则，这种坐标系也被称为右手坐标系。 右手坐标系是规范的常用坐标系。 有了坐标系后，我们可以仿照二维矢量来定义三维矢量的坐标。将待研究矢量的起点平移至坐标原点后，若矢量的终点坐标为 (x 0 , y0, z0 ) ，则我们记 v = (x 0, y0 , z0 ) ，并分别称 x0 ， y0 ， z0 为矢量 v的 x轴分量大小， y轴分量大小和 z轴分量大小 。 由此， 我们还可仿照二维 矢量来 定义三维矢量的数乘和加减 法 。 设 a = (x 1, y1 , z1 )， 矢量b = (x 2, y2 , z2 ) ， λ是实数 ，则数乘和加减 的定义式如下 。 λa = ( λx1, λy1, λz1) a + b = (x 1 + y1 , x 2 + y2 , z1 + z2 ) a - b = (x 1 - y1 , x 2 - y2 , z1 - z2 ) 明显地，三维矢量的数乘和加减同样满足加法交换律、结合律、分配率等运算律。经过繁琐冗长的步骤可以逐维证明平行四边形法则仍然成立，因而三角形法则仍然适用，这意味着三维矢量的几何性质与二维无异。 如图 2所示，设 M 的坐标是 (x 0 , y0, z0) ，则我们可依托坐标轴构 造图示长方体，有 |OP | = x 0 , |OQ | = y0 , | OR | = z0 。 所以我们可 -→ -→ -→ -→ -→ 知OP= (x 0 , 0, 0), OQ= (0, y0 , 0), OR= (0 , 0, z0) ，于是得 OM= OP -→ -→ + OQ + OR。这个结论也可以通过三角形法则和平行四边形法 -→ -→ -→ 则得到：右式= OP + PN + NM= 左式。另外，我们上面定义 - → 了i , j , k ，有 i = (1, 0, 0), j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1。 所以也 有 OM= - → x 0i + y0 j + z0 k 。其 中 x 0 i , y0 j , z0 k 三个矢量分别被 称为OM 的 x轴分 图 2: 三维坐标系下 的向量 量、 y轴分量、 z轴分量 。 这个等式非常常 用，可以称之为建系之后的必由之式。 在二维平面下，矢量 (x 0 , y0 )的模为 x 20 + y02 。这 是由勾股 定理易得的 结论 。 这个结论可以 2 百度贴吧 高中物理吧 @浪漫主义学派 推广至三维：如图 2中，如下等式成立。 → | OM | = | ON |2 + |NM 2 | = |OP |2 + | OQ |2 + |OR |2 = x 20 + y02 + z02 我们把二维矢量的性质推广到了三维中。事实上，我们甚至可以用同样的方法将其推广到四维空间或者更高维的空间中。虽然有很多物理理论需要用到高维空间，但是就高中物理范围内而言，我们用不到。我们只需要学会使用三维矢量就可确保无虞。 练习题 1 - → - → 1. 三维直角坐标系中， A (x 1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 )， 取AB 中点 C，求证 AC= - BC，并由 - → 21 - → - → 此证明 OC= OA+21 OB 。请 计算出C的坐标。 - → 三维直角坐标系中，A ( x1 , y1, z1 ) , B (x 2 , y2 , z2 ) ，取AB 靠近 A 的三等分点C ，求证 2 AC= → BC ，并由此计算出C的坐标。 -→ -→ 已知A (0, 1, 2), B (1, - 1, 0)，计