线性规划所有类型总结(很全的),推荐文档.docx

线性规划，想说懂你很容易 线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终 目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值） 问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘 泥于课本中的z=ax+by的形式, 求最值问题。 1、目标函数形如z=ax+by型： F面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划 例1 （2008.全国U）设变量x, y满足约束条件: z x 3y的最小值是（ ） y》x, x 2y < 2,, x > 2. A. 2 B . 4 C. 6 D. 8 解：画出可行域（如图D,由z x 3y可得y 3x |，所以3表示直线 y 1x t的纵截距，由图可知当直线过点A（-2,2）时，z的最小值是-8，选 D. 2、目标函数形如z山型： x a x y 2 w 0, 例2 （2007.辽宁）已知变量x, y满足约束条件 x > 1, x y 7 w 0, 则y的取值范围是（ ） x 9 9 A. [—,6] B . ，- U 6, C . ,3 U 6, D . [3,6] 5 5 解：画出可行域（如图2）, y表示可行域内的点（x,y ）与原点 x 连线的斜率，求得A （1, 6）, C （-,-）,且求得Ko=6, Koc=-, 2 2 5 所以——6，选A. 5 x 3、目标函数形如z=abx+cy型： x y 1》0, 例3. （2008.北京）若实数x, y满足x y > 0,则z 3x 2y的 x W 0, 最小值是（ ）A. 0 B. 1 c. D. 9 图2 1 图3 图4A. [1,5] B . [2,6] C 解：做出可行域(如图4),因为D . [3,11]x 图4 A. [1,5] B . [2,6] C 解：做出可行域(如图4),因为 D . [3,11] x 1 2(y 1) 1 x 1 .[2,10] x 2y 3 x 1 可视作可行域内的点与点 C (-1 , -1 )连线的斜率，且求得 Kce=1,所以由图可知 1山5，所以3 口 11选D. x 1 x 1 5.目标函数形如z (x a)2 (y b)2 型: 例5.已知x、y满足 X ：y 20 0，求 z J(x 1)2 (y 1)2 x 0, y 0 解：画出可行域(如图3),令u=x+2y,当x=y=O时u最小为0,则 z 3x 2y的最小值是1.故选B. 4.目标函数形如z=ax by c型： dx e x 0 例4?已知x、y满足4x 3y 12，则x 2y 3的取值范围是( x 1 y x 值和最小值. 解：目标函数的几何意义是可行域的点(x，y)与点C( 1, 1)的距离(如图5)， 由图形易知点C与可行域内的点0(0, 0)和A (2, 0)的距离最大为 2，而z 的最小值是点 C到直线x 2y 2 x 0的距离上, 5 所以 Zmax=- 2 , Zmin= 5 5 2y 7 0 变式已知X、 y满足约束条件 3x y 9 0，求 〕z=x2+y2的最大值和最小值, x 2y 3 0 解：画出可行域(如图6), z=x2+y2表示可行域内的点与原点 O距离的平方，由 图可知，|OA|最大，zmax= ( 52 62 ) 2=61,最小值为点 O到直 线 x+2y-3=0 的距离的平方，Zmin= ( 131 ) 2=9. TOC \o "1-5" \h \z V1 4 5 6.目标函数形如z=|ax+by+c|型： x y 2 0 例6.已知x、y满足x y 4 0，求z=|x+2y-4|的最大值. 2x y 5 0 解：因为z |x 2y 4| |x叟4|药,所以z可看作是可行域内任 J5 意一点（x,y ）到直线x+2y-4=0的距离的，5倍.由图7知，点C到直 线x+2y-4=0的距离最大,由X y 2 0可得c（ 7, 9）所以Zma>=|7+2 2x y 5 0 X 9-4|=21. 7.目标函数形如z=ax2+by2型： 图7y x 1 例7.已知变量x、y满足y x 6，求z=4x2+y2的最值 图7 y 2 解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图 8）, 2 2 由z=4x2+y2得— 1 ,目标函数z的几何意义是椭圆长轴的平方， z z 4 当椭圆分别经过C（ 4,2）,B（ 1,2,）时z取最大值和最小值，zmax=68, 2 2 图8Zmin=8.此题还可以进一步引申，求z=4x -y的最值。 图8