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充分条件与必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义;
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件;
3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达
命题之间的关系;
4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.
【要点梳理】
要点一:充分条件与必要条件、充要条件的概念
1.符号 p q 与 p q 的含义
q
“若 ,则 ”为真命题,记作: ;
p p q
“若 ,则 ”为假命题,记作: .
p q p q
2. 充分条件、必要条件与充要条件
①若 ,称 是 的充分条件, 是 的必要条件.
p q p q q p
q
②如果既有 ,又有 ,就记作 ,这时 是 的充分必要条件,称 是
p q q p p q p p
q 的充要条件.
q q
要点诠释:对 的理解:指当 成立时, 一定成立,即由 通过推理可以得到 .
p q p p
①“若 ,则 ”为真命题;
p q
p q
② 是 的充分条件;
③ 是 的必要条件.
q p
以上三种形式均为 “ ”这一逻辑关系的表达.
p q
要点二:充分条件、必要条件与充要条件的判断
1.从逻辑推理关系看
命题“若 ,则 ”,其条件 与结论 之间的逻辑关系.
p q p q
p q q p
①若 p q ,但q p ,则 是 的充分不必要条件, 是 的必要不充分条件;
②若 ,但 ,则 是 的必要不充分条件, 是 的充分不必要条件;
p q q p p q q p
p q
③若 p q ,且q p ,即 p q ,则 、 互为充要条件;
④若 ,且 ,则 是 的既不充分也不必要条件.
p q q p p q
2. 从集合与集合间的关系看
q
若 p : ∈ ,则 : ∈ .
x A x B
p q q p
①若 A B ,则 是 的充分条件, 是 的必要条件;
q
②若 A 是 B 的 真子集,则 p 是 的充分不必要条件;
p q
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