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专题2:倍长中线法
【典例引领】
例题:(2014黑龙江龙东地区)已知ΔABC 中,M为BC 的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别
作BD⊥m于E,CF⊥m于F。
1
(1)当直线m经过B点时,如图1,易证EM= CF。(不需证明)
2
(2)当直线m不经过B点,旋转到如图2、图3的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明。
【答案】(2)证明见解析
【分析】图2,连接DM并延长交FC 的延长线于K ,可证△DBM≌△KCM,再利用三角形中位线即可得
出结论。图3 同图2证明相同。
1
【解答】(2)图2的结论为:ME= (BD+CF)
2
1
图3的结论为: ME= (CF-BD)
2
图2 的结论证明如下:连接DM并延长交FC 的延长线于K
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM
又∵∠DMB=∠CMK BM=MC
∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK
1 1 1
由易证知:EM=FK ∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
2 2 2
图3的结论证明如下:连接DM并延长交FC于K
1
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF ∴∠MBD=∠KCM
又∵∠DMB=∠CMK BM=MC
∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK
1 1 1
由易证知:EM=FK ∴ME= (CF-CK)= (CF-DB)
2 2 2
【强化训练】
1、(2017黑龙江龙东地区)已知:ΔAOB和ΔCOD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,
BC,点H为BC 中点,连接OH。
1
(1)如图1所示,易证OH= AD且OH⊥AD (不需证明)
2
(2)将ΔCOD绕点O旋转到图2,图3所示位置是,线段OH与AD又有怎样的关系,并选择一个图形证
明你的结论。
【答案】(2)证明见解析
【分析】(1)只要证明△AOD≌△BOC,即可解决问题;
1
①如图2 中,结论:OH= AD,OH⊥AD.延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,
2
由△BEO≌△ODA即可解决问题;
②如图3 中,结论不变.延长OH到E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于G.由△BEO≌△ODA
即可解决问题;
【解答】(1)证明:如图1中,
2
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
∴OC=OD,OA=OB,∵在△AOD与△BOC 中,,
∴△AOD≌△BOC (SAS),∴∠ADO=∠BCO,∠OAD=∠OBC,
∵点H为线段BC 的中点,∴OH=HB,
∴∠OBH=∠HOB=∠OAD,又因为∠OAD+∠ADO=90°,
所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD
(2)解:①结论:OH=AD,OH⊥AD,如图2 中,延长OH E,使得HE=OH,连接BE,
易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°,∴OH⊥AD.
②如图3 中,结论不变.延长OH E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于G.
易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠A
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