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实验六 均值比较分析 实验目的： 了解各种均值假设检验方法。 实验内容： 一、单样本的T检验 二、独立样本的T检验 三、配对样本的T检验 四、单因素方差分析 实验工具： SPSS比较均值菜单项。 知识准备： 统计假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这一假设是否合理，即判断样本统计量的具体数值与原假设是否有显著差异。从而决定拒绝或接受原假设。　 假设检验的基本步骤为： 第一步，提出原假设()和备择假设() 第二步，选择检验用统计量，并确定其分布形式 第三步，选择显著性水平，确定决策临界值 第四步，根据检验统计量的具体数值，做出决策 一、单样本均值检验 1、大样本下的均值检验 根据中心极限定理，当总体服从正态分布时，样本均值也服从正态分布，当总体不服从正态分布时，若样本容量充分大，样本均值渐近服从正态分布。因此大样本下的均值检验可采用Z统计量。 当总体方差已知时，检验统计量的计算公式为： 当总体方差未知时，检验统计量的计算公式为： 2、小样本下的均值检验 当总体服从正态分布且方差已知时，根据中心极限定理，样本均值服从正态分布，检验统计量采用Z统计量，即 当总体服从正态分布但方差未知时，需要使用样本标准差来替代，此时样本均值服从个自由度的分布。如果总体不服从正态分布，当样本容量充分大时也可以采用检验。统计量的计算公式为： 3、总本比率的假设检验 可以使用Z统计量检验总体比率，计算公式为： 式中，即样本中成功次数占样本容量的比重，为总体假设成功比例。检验统计量渐近服从标准正态分布。 将上式分子分母同乘以，可得出以成功次数表示的统计量： 二、独立样本的均值比较 1、正态总体方差已知 当两个总体均为正态分布，且两个总体的方差分别为为已知。，表示两总体的平均数，则可用统计量进行检验： 如果两个总体为非正态总体，且两个总体的方差分别为为已知，当样本容量足够大时，也可以采用此统计量。 2、正态总体、方差未知但相等 检验统计量为： 其中 3、正态总体、方差未知且不等 检验统计量为 其中 三、方差的检验 1、正态分布总体方差的假设检验 检验统计量为 当原假设为真时，它服从于自由度为分布 2、两正态总体方差齐性检验－F检验 该检验是用服从分布的统计量检验两正态总体方差的齐性（方差相等）问题，设，在两个正态总体的情况下，统计量：（服从于自由度为分别为的分布。在原假设为真的情况下，相等，所以假设检验的统计量为： 它在为真时，服从分子自由度为，分母自由度为：的F分布。在一定的显著性水平下，求出F的临界值，要是根据样本算出的F值落在否定域里，就否定原假设，说明两总体方差在显著性水平下，有显著性差异。如果F值没有落在否定域里，就不能否定原假设，可近似认为两总体方差没有差异，而样本方差的差异是由于抽样的偶然性所致。 四、配对样本的均值检验 令，则称为配对差。 当样本容量较在时，根据中心极限定理，服从正态分布，当已知时，可使用Z统计量检验配对样本均值差： 其中，为假设均值差，为差值的总本标准差，为样本容量。统计量Z服从标准正态分布。 当差值的总体标准差未知时，需要用样本标准差来代替，此时需要采用配对样本的检验。检验统计量为 其中 ，检验统计量服从个自由度的分布。 五、单因素方差分析 如果用于比较均值的组超过两个，需要采用方差分析。当用于比较的组仅在一个因素有不同水平时，称为单因素方差分析。虽然名为方差分析，但方差分析是用于分析组间的均值差异而不是方差差异，但是通过分析组间和组内的变化，可以得出均值之间差异的结论。 在方差分析中，总的变异被分成两部分：组间变化和组内变化。组内变化被认为是随机误差，组间变化被称为处理效应。 单因素方差分析的原假设和备择假设为： 总的变异用总平方和来表示，计算公式为 其中，为第组的第个值，为第组的数据个数，为所有组的数据总和，为组数。 组间差异用组间平方和表示，计算公式为 其中为第组的样本均值。 组内差异用组内平方和表示，计算公式为 由于比较组，所以组间平方和的自由度为；因为每一组贡献个自由度，所以组内平方和的自由度为；因为总平方和是在个数值基础上比较和，所以其自由度为。 将各个平方和分别除以各自的自由度可以得到三个均方，分别为 。 在三个均方的基础上，可以构造单因素方差分析的F统计量 ，F统计量服从第一个自由度为，第二个自由度为的F分布。 实验背景： 一、某机器在正常工作情况下，平均每件产品重量应为50千克，今从该机器所生产的某批产品中抽取9件产品，分别测得重量为（单位：千克）： 52.1，50.5，51.2，49.7，49.5，50.5，58.7，50.5，48.3 问该批产品质量是否正常。 二、某克山病区