北师大版中学二年级八年级数学上册三角形内角和定理.ppt

通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三角形的内角和是180°. 2.证明三角形内角和是180°，不仅可以通过实验操作验证，还可以通过严密的推理得到证明.通过平行线将三个内角拼在一起，得到一个平角或构造同旁内角是常用方法. 3.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. * PPT课件 再 见 PPT课件 三角形内角和定理 * PPT课件 1．掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用. 2.初步掌握利用辅助线证明，体会思维实验和符号化的理性作用. 3.通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展. * PPT课件 1 A B D 2 3 C 如图,我们把∠A移到了∠1的 位置,∠B移到了∠2的位置.就得到 了三角形三个内角的和等于 180°. 根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流. * PPT课件 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置. A B C * PPT课件 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3= 180° (平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB= 180° (等量代换). 你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗? 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线. A B C E 2 1 3 D * PPT课件 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可行吗? 请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3= 180° (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C= 180° (等量代换). 小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗? A B C P Q 做一做 2 3 1 * PPT课件 如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什么关系? ∠1+∠4=180°； ∠1∠2； ∠1∠3； ∠1=∠2+∠3. A B C D 1 2 3 4 * PPT课件 证明:∵∠2+∠3+∠4=180° (三角形内角和定理), ∠1+∠4=180° (平角的定义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1∠2,∠1∠3(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. * PPT课件 在这里,我们通过三角形的内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个基本事实或定理直接推出的定理, 叫做这个基本事实或定理的推论. 推论可以当做定理使用. 三角形内角和定理的推论: 定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A B C D 1 2 3 4 * PPT课件 A B C D 1 2 3 4 在△ABC中: ∠1=∠2+∠3; 所以∠1∠2,∠1∠3. 这个结论以后可以直接运用. * PPT课件 例 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). A C D B E 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实. 【例题】 * PPT课件 已知:如图,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延 长BC到D,连接DE. 求证: ∠1∠2. C A B F 1 3 4 5 E D 2 【做一做】 * PPT课件 证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴∠1∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴∠1∠2(