2021版新高考数学一轮复习第八章8.7.2利用空间向量求二面角与空间距离课件新人教B版.pptx

;内容索引;考点一　求二面角 【题组练透】;命题角度1 求二面角或某一三角函数值 【典例】(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1. (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.;【解析】(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1,EC1∩B1C1=C1, 所以BE⊥平面EB1C1.;(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故 AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,| |为单位长,建立 如图所示的空间直角坐标系D-xyz,;则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1), =(1,0,0), =(1,-1,1), =(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则 所以可取n=(0,-1,-1). 设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z), 则 所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>= 所以二面角B-EC-C1的正弦值为 .;命题角度2 与二面角有关的综合问题 【典例】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD= ,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF⊥平面BCF. (2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么 位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大, 并求此时二面角的余弦值. 世纪金榜导学号;【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD= , 所以∠ADC= π,∠ACD= ,所以∠ACB= ,故AC⊥BC. 因为CF⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, 所以AC⊥CF,而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF,因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF. ;(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴, z轴的空间直角坐标系如图所示, AD=CD=BC=CF=1, 令FM=λ(0≤λ≤ ), 则C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1), 所以 =(- ,1,0), =(λ,-1,1), ;设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由 取x=1, 则n1=(1, , -λ), 因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量, 所以cos θ= 因为0≤λ≤ ,所以当λ=0时,cos θ有最小值 ,所以点M与点F重合时, 平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为 .;【题组过关】 【变式巩固·练】 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 (　　);【解析】选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1, 则A1(0,0,1),E ,D(0,1,0),;所以 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z), 则 所以 所以n1=(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), 所以cos<n1,n2>= 即所成的锐二面角的余弦值为 .;2.(2020·广州模拟)如图,四棱锥F-ABCD中,底面ABCD为边长是2的正方形,E,G分别是CD,AF的中点,AF=4,∠FAE=∠BAE,且二面角F-AE-B的大小为90°. (1)求证:AE⊥BG. (2)求二面角B-AF-E的余弦值.;【解析】(1)作GO⊥AE于点O,连接BO, 因为AG=AB=2,∠GAO=∠BAO,AO=AO, 所以△AOG≌△AOB,所以∠AOB=∠AOG=90°, 即GO⊥AE,BO⊥AE, 又GO∩BO=O, 所以AE⊥平面OGB,又GB?平面OGB, 所以AE⊥BG.;(2)因为平面AEF⊥平面AEB,平面AEF∩平面AEB=AE,GO⊥AE, 所以GO⊥平面AEB. 以点O为原点,OA,OB,OG所在直线为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系, 因为S△ABC= ×AB×BC= AE·BO, 所以 ×2×2= × ×BO. 所以BO= ;所以 所以 设平面ABF的法向量m=(x,y,z), ;令y=1,得m=(2,1,1), 易知n= =(0,