动点到两定点的距离最值.pdf

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值 一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值． 例 1　（1）已知点A(1 ，1)，点B(3 ，-2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值 为 ，此时点P 的坐标为 ； （2 ）已知点A(1 ，1)，点B(3 ，2) ，P 是 x 轴上任意一点，则 PB-PA 的最大值为 ， 此时点 P 的坐标为 ． 解析：（1）如图 1，当点P 在 x 轴上运动时，PA+PBAB( 当且仅当A ，P ，B 三点共线 时等号成立) (PA+PB)min =AB= 此时，点 P 的坐标为 （2 ）如图2 ，当点P 在 x 轴上运动时，PB- PA AB( 当且仅当A ，P ，B 三点共线时等 号成立) (PB-PA)max =AB= 此时，点 P 的坐标为 变题： （1）已知点A(1 ，1)，点B(3 ，2) ，P 是 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值 为 ，此时点P 的坐标为 ； 解析： （1）如图3，作点B 关于 x 轴的对称点 B ˊ（3，-2 ），则有PB=PB ˊ 当点 P 在 x 轴上运动时，PA+PB=PA+PB ˊ=AB ˊ(当且仅当 A ，P ，B ˊ三点共线时等号成 立) (PA+PB)min =AB= 此时，点 P 的坐标为 （2 ）已知点A(1 ，1)，点B(3 ，-2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PB-PA 的最大值为 ，此 时点 P 的坐标为 ． 解析：（2 ）如图4 ，作点B 关于 x 轴的对称点 B ˊ，则有PB=PB ˊ 当点P 在 x 轴上运动时，PB- PA= PB ˊ-PA ﹦AB ˊ (当且仅当A ，P ，B ˊ三点共线时等号成立) (PB-PA)max =AB ˊ= 此时，点 P 的坐标为 归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值； ②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值． 若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变 题的方法． 例 2　函数 的值域为 ． 解析：将函数进行化简得： 即为动点P （x ，0 ）到两定点A(1 ，1)、B （3，-2 ）的距离之和．由例 1 可知： 该值域为 二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值． （一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解． 例 3　（1）已知A(4 ，0)和 B(2 ，2) ，M 是椭圆 上的动点，则 MA-MB 的 范围是 ； 解析：(1)如图 5，在MAB 中有MA-MB<AB ，当M ，A ，B 三点共线且 MB>MA 即点 M 位于 M2 处时，有 MA-MB=AB ，所以 MA-MBAB ；同理在MAB 中有 MB-MAAB ， 即MB-MA-AB(当点M 位于 M1 处时等号成立) 综上所述：-AB ≦MA-MB ≦AB （2 ）已知A(4 ，0)和 B(2 ，2) ，M 是椭圆 上的动点，则 MA+MB 的最大值 是 ． 解析： (2) 如图 6，因为点 A 恰为椭圆的右焦点，所以 由椭圆的定义可得 MA+MB=10-MF+MB （F 为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF ﹦BF( 当且仅当点M 位于 点 M4 处时，等号成立)所以(MA+MB