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2.2 三角形中的几何计算 2011.10.14 ● 知识回顾 一、正弦定理和余弦定理 a 1 ．正弦定理： sin A ＝① ________ ＝② ________ ＝ 2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 ) ． 2 ．余弦定理： a ＝③ ________ ， b ＝④ ________ ， c ＝⑤ ________. 2 2 2 二、三角形常用面积公式 1 1 ． S ＝ a · h ( h 表示⑥ ________) ． 2 1 2 ． S ＝⑦ ________ ＝ ac sin B ＝⑧ ________. 2 abc 3 ． S ＝ 4 R ( R 为⑨ ________) ． 1 4 ． S ＝ 2 r ( a ＋ b ＋ c )( r 为⑩ ________) ． 答案： b c 2 2 2 2 ① ② ③ b ＋ c － 2 bc cos A ④ c ＋ a sin B sin C － 2 ca cos B ⑤ a ＋ b － 2 ab cos C ⑥长为 a 的边上的 1 1 高 ⑦ ab sin C ⑧ bc sin A ⑨三角形外接圆半径 2 2 ⑩三角形内切圆半径 2 2 ● 新知探究 三角形中的几何计算可归结为以下几类问题 ： 1 ． 几何中的长度问题 把几何中的线段长转化为三角形的边 长，在三角形中利用正、余弦定理求解． 例一 如图所示，已知梯形 ABCD 中， CD ＝ 2 ， AC ＝ ∠ BAD ＝ 60 °， 求梯形的高． 解析： 解法 1 ： ∵∠ BAD ＝ 60° ， ∴∠ ADC ＝ 120° . 设 ∠ DCA ＝ θ ，则 ∠ DAC ＝ 60° － θ . 在 △ ACD 中，由正弦定理， CD AC 得 ＝ sin120° ， sin ? 60° － θ ? CD sin120° 3 ∴ sin(60° － θ ) ＝ ＝ . AC 19 4 ∴ cos(60° － θ ) ＝ . 19 ? ? 3 cos θ － 1 sin θ ＝ 3 ， 2 19 ? 2 从而 ? 3 4 ? 1 cos θ ＋ sin θ ＝ ， ? 2 19 ? 2 3 3 ∴ sin θ ＝ . 2 19 AD AC 由正弦定理，得 sin θ ＝ sin120° ， 3 3 19 × 2 19 AC · sin θ ∴ AD ＝ ＝ ＝ 3. sin120° 3 2 3 3 ∴ 梯形的高为 DE ＝ 3sin60° ＝ 2 . 解法 2 ： ∵∠ BAD ＝ 60° ， ∴∠ ADC ＝ 120° . 在 △ ACD 中， AC ＝ 19 ， CD ＝ 2 ， ∠ ADC ＝ 120° ， 由余弦定理，得 AC ＝ AD ＋ DC － 2 AD · DC cos ∠ ADC ， 即 ( 19) ＝ AD ＋ 2 － 4 AD cos120° . 整理，得 AD ＋ 2 AD － 15 ＝ 0. ∴ AD ＝ 3 或 AD ＝－ 5( 舍去 ) ． 3 3 ∴ h ＝ AD sin60° ＝ 2 . 2 2 2 2 2 2 2 比较一下两种方法 . 你认为哪种 方法较好？ 总结 ：在三角形的几何计算中，对 于角和边的求解，主要是应用正弦 定理或者是余弦定理。不同的已知 选择不同的定理。 ? 变式练习： 如图，已知在四边形 ABCD 中， AD ⊥ CD ， AD ＝ 10 ， AB ＝ 14 ， ∠ BDA ＝ 60 °，∠ BCD ＝ 135 °，求 BC 的长． ? 分析： 在△ ABD 中，已知两边和其 中一边的对角，用正弦定理可求出 另一边的对角，但得不到其与 △ BCD 的联系，可再考虑用余弦定 理求出 BD ，其恰好是两个三角形 的公共边，这样可在△ BCD 中应用 正弦定理求 BC . ? 解析： 在△ BAD 中，由余弦定理，得 2 2 2 AB ＝ BD ＋ AD － 2 BD · AD cos ∠ BDA . 2 2 2 设 BD ＝ x ，则 14 ＝ x ＋ 10 － 2 × 10 x cos60 °， ∴ x 2 － 10 x － 96 ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ 16 ， x 2 ＝－ 6( 舍去 ) ，即 BD ＝ 16. 在△ BDC 中，由正弦定理，得