复数经典例题(word文档良心出品).docxVIP

经典例题透析 类型一：复数的有关概念 例1已知复数z 例1已知复数z 2 a 7a 6a2 1 (a2 5a 6)i (a R），试求实数a分别取什么值时, z分别为: （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a值. (1 )当z (1 )当 z为实数时， 2 有a2 a 5a 6 0 a 1或a 6 1 0 a 1 ? 当 a 6时，z为实数 (2 )当 z为虚数时， 2 有a a2 5a 6 0 a 1且a 6 1 0 a 1 ???当 a€ (-m，- 1) U (-1, 1) U 解析: （3 ）当z为纯虚数时, a 1 且 a 6 , (1 , 6)U( 6, +s)时，z 为虚数. a2 5a 6 0 有 a2 7a 6 a2 1 ???不存在实数a使z为纯虚数. 总结升华： 由于a€ R,所以复数z的实部与虚部分为 a 27a 6与a2 5a 6. a2 1 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解； 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可. 举一反三: 【变式1】设复数z=a+bi (a、b€ R),则z为纯虚数的必要不充分条件是( A. a=0 B . a=0 且 b工 0 C . a工0 且 b=0 D . a工0 且 b^ 0 【答案】A;由纯虚数概念可知： a=0且0是复数z=a+bi (a、b € 要条件?而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 【变式2】若复数(a2 3a 2) (a 1)i是纯虚数，则实数 a的值为 【答案】B；- ?- (a2 3a 2) (a 1)i是纯虚数，??? 2 a 3a 2 0且a 【变式 3】如果复数 2 (m i)(1 mi)是实数， 则实数m=( ) A. 1 B -1 C . 2 D . 2 【答案】B； 【变式 4】求当实数 m取何值时, 复数 z (m2 m 2) (m2 3m (1)实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数 【答案】 (1)当 2 m 3m 2 0即m 1或m 2时, 复数 z为实数； (2)当 2 m 3m 2 0即m 1且m 2时, 复数 z为虚数； (3)当 2 m m 2 0 即m 1时，复数 z为纯虚数? 2 m 3m 2 :0 类型二 :复数的代数形式的四则运算 例2. 计算 : (1) i n (n N )； (2) (1 i )8 (3) (1 2i) (1 2i); (4) (1 4i)(1 i) 2 4i 3 4i 解析： ⑴??? i 2 1 ,?? ?3 ? i ?2 1 1 1 ?4 ,i i2 i2 1, 同理可得： 当n 4k 1 (k N )时，i4k1 ?4k i 4 i (i )k i i 当n 4k 2(k N \ 「 ?4k 2 )时，i ,4k i .2 i 1, 或 2 D.-1 A.1 B.2 C.1 2)i分别是: R)为纯虚数的充 A. ) 1 0，即 a 2. 当n 4k 3(k N )时: .4 ，i k 3 .4k , i 1 .3 . i 当n 4k 4( k N )时: ，i Ik .4k .4 i i 4\k (i ) i ( n 4k 1, k N) n 1 ( n 4k 2， k N) .■11 --i ( N) (n N ) i n 4k 3， k 1 ( n 4k 4， k N) (2) (1 i)8 [(1 i)2 !]4 (2i) 4 24i4 16 ⑶(1 2i) (1 2i) 1 2i (1 2i)(1 2i) 12 (2i)2 4i 3 4i 3 4 1 2i (1 2i)(1 2i) 2 2 1 (2i) 5 5 5 (4) (1 4i)(1 i) 2 4i 1 4 3i 2 4i 7 i (7 i)(3 4i) 3 4i 3 4i 3 4i 32 4 2 21 4 3i 28i 25 25i 1 i. 25 25 总结升华：熟练运用常见结论： 1) in的“周期性” (n N ) 2)(1 i)2 2i 3) (a bi)(a bi) a2 b 举一反三： 【变式1】 计算： (1)(5 — 6i)+(— 2— i) —(3+4i) (2)(1 2i)(3 4i)(2 i) (3) i i2 i3 L .100 i (4)(1 (1 i)3 (1 i)2 (1 i)3 i)2 ； 【答案】 (1)(5 — 6i)+(— 2— i) —(3+4i) =[(5 — 2)