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平面向量共线的坐标表示
教学目标
1.用坐标表示两向量共线. ( 重点 )
2.根据平面向量的坐标判断向量共线. ( 难点 )
3.两直线平行与两向量共线的判定. ( 易混点 )
[ 基础·初探 ]
教材整理 平面向量共线的坐标表示
阅读教材 P98“思考”以下至“例 6”以上内容,完成下列问题.
1.设 a=( x1,y1 ) ,b=( x2,y2) ,其中 b≠0,a、b 共线,当且
仅当存在实数 λ,使 a=λb.
2.如果用坐标表示,可写为 ( x1, y1) =λ( x2,y2) ,
当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b( b≠0)共线.
注意:对于 2 的形式极易写错, 如写成 x1y1-x2y2=0 或 x1x2-y1y2
0 都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
判断 ( 正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)
向量 (1
,2)
与向量 (4 ,8) 共线. (
)
(2)
向量 (2
,3)
与向量 ( -4,- 6) 反向. (
)
解:(1) 正确.因为 (4 ,8) =4(1 ,2) ,所以向量 (1 ,2) 与向量 (4 ,
共线.
正确.因为 ( -4,-6) =- 2(2 ,3) ,所以向量 (2 ,3) 与向量
( -4,- 6) 反向.
【答案】 (1) √ (2) √
[ 小组合作型 ]
判定直线平行、三点共线
1
已知 A(1 ,- 3) ,B 8,2 ,且 A,B,C三点共线,则 C的
坐标可以是 ( )
A.( -9,1) B.(9 ,- 1)
C.(9 ,1) D.( -9,- 1)
已知四点坐标 A( -1,1) 、B(1 ,5) 、C( -2,-1) 、D(4 ,11) ,
请判断直线 AB与 CD是否平行
→
(3) 已知 A( -1,- 1) ,B(1 ,3) ,C(1 ,5) ,D(2 ,7) ,向量 AB与
→
CD平行吗直线 AB平行于直线 CD吗
利用向量的平行条件 x1y2 -x2y1= 0,可证明有公共点的两个平行向量共线,从而可证明三点共线.
判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线.
解: (1) 设点 C的坐标是 ( x,y) ,
因为 A,B,C三点共线,
→
→
所以 AB∥ AC.
→
1
7
因为 AB= 8,2
-(1 ,- 3) = 7,2
,
→
AC=( x, y) -(1 ,- 3) =( x-1,y+3) ,
7
所以 7( y+3) -2( x-1) =0,整理得 x-2y=7,
经检验可知点 (9 ,1) 符合要求,故选 C.
【答案】 C
(2) 因为
→=(1 ,5) -( -1,1) =(2 ,4) ,→=(4 ,11) -( -1,
AB
AD
1) =(5 ,10)
→
-( -1,1)
=( -1,- 2) ,
,AC=( -2,- 1)
→ → → →
所以 AB=- 2AC,AD=- 5AC.
→ → →
所以 AB∥ AC∥AD.
→ → →
由于 AB与 AC、AD有共同的起点 A,
所以 A、B、C、D四点共线,
因此直线 AB与 CD重合.
→
(3) 因为 AB=(1 -( -1) ,3-( -1)) =(2 ,4) ,
→
CD=(2 - 1,7-5) =(1 ,2) .
又因为 2×2-4×1= 0,
→
→
所以 AB∥
CD.
→
→
,4) ,
又因为 AC=(1 -( -1) ,5-( -1)) =(2 ,6) ,AB=(2
所以 2×4-2×6≠0,
所以 A,B,C不共线,
所以 AB与 CD不重合,
所以 AB∥CD.
三点共线的条件以及判断方法:
若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
直接利用上述条件,计算 ( x2- x1)( y3-y1) -( x3-x1)( y2- y1)
是否为 0;
(2) 任取两点构成向量,计算出两向量如
→
→
AB,AC,再通过两向量
共线的条件进行判断.
[ 再练一题 ]
→
→
→
,k)
,
1.设 O是坐标原点, OA=( k,12)
,OB=(4
,5) ,OC=(10
当 k 为何值时, A,B,C三点共线
→ → →
解:∵ AB=OB-OA=(4 -k,- 7) ,
→ → →
AC=OC-OA=(10 -k,k-12) ,
又 A,B,C三点共线,
∴由两向量平行的充要条件,得 (4 -k)( k-12) +7(10 -k) =0,
解得 k=- 2 或 k=11.
∴当 k=- 2 或 k=11 时, A,B,C三点共线.
已知平面向量共线求参数
已知向量 a=( x,3) ,b=( -3,x) ,则
①存在实数 x,使 a∥b;
②
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