322立体几何中的向量方法一.ppt

前面 , 我们把 平面向量 推广到 空间向量 向量 渐渐成为重要工具 立体几何问题 ( 研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形 ) 从今天开始 , 我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用 . 复习： 共线向量定理 : r r r r r 对空间任意两个向量 a 、 （ b b ? 0 ）， a // b 的 r r 充要条件是存在实数 ? ，使 a ＝ ? b 。 共面向量定理 : 如果两个向量 a , b 不共线，则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在 实数对 x ， y ，使 p ＝ x a ＋ y b 。 思考 1 ： 1 、如何确定一个点在空间的位置？ 2 、在空间中给一个定点 A 和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？ 3 、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？ 4 、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？ 一、点的位置向量 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中 u u u r 任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示。我们把 u u u r 向量 OP 称为点 P 的位置向量。 P O 二、直线的向量参数方程 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定 . l l 上的任一点 P , 对于直线 P u u u r u u u r 存在实数 t 使得 AP ? t AB a B A 此方程称为 直线的向量参数方程。 这 r 样点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体写出 l 上的任意一 点。 u u u r u u u r r OP ? OA ? ta ， u u u r u u u r u u u r OP ? xOA ? yOB ( x ? y ? 1 ） 三、平面的法向量 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定 . r n 对于平面 ? 上的任一点 P , r P b 存在有序实数对 ( x , y ) , 使得 r u u u r r r ? O a OP ? xa ? yb 置，还可以具体表示出 ? 内的任意一点。 除 此之外 , 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量 ( 这个 平面的法向量 ) 表示空间中平面的位置 . r r 这样，点 O 与向量 a 、 b 不仅可以确定平面 ? 的位 r 平面的法向量： 如果表示向量 n 的有向线段所在 ? 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 r r r 面 ? , 记作 n ⊥ ? ，如果 n ⊥ ? ，那 么 向 量 n 叫做 平面 ? 的 法向量 . r n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 r l 过点 A, 以向量 n 为法向量的平面是 r 完全确定的 . n A 几点注意： 1. 法向量一定是非零向量 ; 2. 一个平面的所有法向量都 互相平行 r ; 3. 向量 u r n 是平面的法向量，向 量 m 是与平面平行或在平面 r u r 内，则有 n ? m ? 0 ? 问题：如何求平面的法向量？ ( 1 ) 设出平面的法向量为 n ? ( x , y , z ) ( 2 ) 找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a ? ( a 1 , b 1 , c 1 ), b ? ( a 2 , b 2 , c 2 ) ( 3 ) 根据法向量的定义建立 关于 x , y , z 的 ? n ? a ? 0 方程组 ? ? n ? b ? 0 ( 4 ) 解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。 u u u r u u u r 例 例 1 2 ：已知 AB ? (2,2,1), AC ? (4,5,3), 求平面 ABC 的 单位法向量。 r 解：设平面的法向量为 n ? （ x ， y ， z ）， r u u u r r u u u r 则 n ? AB ， n ? AC ? （ x ， y ， z ） g (2,2,1) ? 0 ，（ x ， y ， z ） g (4,5,3) ? 0, 1 ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? 即 ? , 取 z ? 1 ，得 ? 2 ? 4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? ? y ? ? 1 1 2 2 ? 求平面 ABC 的单位法向量为 ? ( ， - ，） 3 3 3 r r 3 1 ? n ? ( , ? 1,1), | n | ? 2 2 思考 2 ： 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面