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共面向量 : 平行于同一平面的向量 , 叫做共面向量 . O a A ? a 3 — 1 — 2 注意: 空间任意两个 向量是共面的 ,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。 复习: 1 、如果向量 e 1 和 e 2 是一平面内的两个不平 行的向量,那么,该平面内的任一向量 a 与 e 1 , e 2 有什么关系 ? 2 、平面向量基本定理 如果 e 1 和 e 2 是一平面内的两个不平行的向 量,那么,该平面内的任一向量 a , 存在惟一 的一对实数 a 1 , a 2 , 使 a = a 1 e 1 + a 2 e 2 2 3 、共面向量定理: 如果两个向量 a , b 不共线 ,则向量 c 与向量 a , b 共面的充要条件是,存在 唯一 的一对实数 x , y ,使 c c = x a + y b B 证明: ( 1 ) 必要性: 如果向量 c 与向量 a , b 共面, C 则通过平移一定可以使他们位于同一平面内, O A 由平面向量基本定理可知, 一定存在唯一的实数对 x , y , 使 c = x a + y b ( 2 ) 充分性: 如果 c 满足关系式 c = x a + y b , 则可选定一点 O , 作 OA = x a , OB = AC = y b ,于是 OC = OA + AC = x a + y b = c , 显然 OA , OB , OC ,都在平面 OAB 内 , 故 c , a , b 共面 3 共面向量定理的剖析 如果两个向量 a , b 不共线 , 存在唯一的一对实数 x , y ,使 c = x a + y b ★ 向量 c 与向量 a , b 共面 ★ c = x a + y b ( 性质 ) 向量 c 与向量 a , b 共面 ( 判定 ) 4 思考 1 : 如图 , 平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线 r r b 的平面 , 如何表示 平面 A 上的任一点 P 的非零向量 a 、 u r P p 呢 ? r C uuu r r r ⑴∵ AP 与 a 、 b 共面 , u u u r r u u u r r C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ⑵∵ 已知点 B 、 u u u r r r ∴ ? 唯一有序实数对 ( x , y ), 使 AP ? xa ? yb . uuu r r r O ∴ 点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x , y ), 使 AP ? xa ? yb ① b r B A a uuu r uuu r uuu r ∴ 点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x , y ), 使 AP ? xAB ? yAC ② uuu r r u u u r r ⑶∵ 已知点 B 、 C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b , 对于空间任意一点 O ∴ 点 P 在平面 ? 上 ? u u u r u u u r u u u r u u u r ? 是存在唯一有序实数对 ( x , y ), 使 OP ? OA ? x AB ? y AC ③ 注 : ①、②、③式都称为平面 ? 的向量表示式 , 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定 . 5 思考 2 (课本 P88 思考) ABC 外的 B 、 C 和 平面 试证明 : 对于不共线的三点 A 、 u u u r u u u r u u u r u u u r 一点 O , 空间一点 P 满足关系式 O P ? xO A ? yO B ? zO C , 则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件 是 x ? y ? z ? 1 . 即, P 、 A 、 B 、 C 四点共面。 证明 : ⑴充分性 u u u r u u u r u u u r u u u r 可变形为 OP u u u r ∵ OP ? ? (1 ? y ? z ) OA u xOA u u r ? u u yOB u r u ? u u r zOC ∴ OP u u u r ? OA u u u r ? y ( OB u u u r ? OA u u u r ? u yOB u u r ? u zOC u u r , ∴ u AP u u r ? y u AB u u r ) ? z ? z u ( AC u OC u r ? OA ) ∴点 P 与 A 、 B 、 C 共面 . 6 试证明 : 对于不共线的三点 A 、 B 、 C 和 平面 ABC 外的 u u u r u u u r u u u r u u u r 一点 O ,
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