导数在经济的意义.doc

1?边际函数 妒义经济学中,把函数f何的导函数/-(X)称为/何的边际 ［函数?在点X.的值厂氐)称为/何在f处的边际值(或变化 率、变化速度等人 经济意义：即当自变量X在S的基础上再增加一个 单位时，函数y的改变量. 例1某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件，假设日产品的总成本c(元)与日产量兀(件)的 函数为 C(x)= -x2 + 60x + 2050 求(*)日产量75件时的总成本和平均成本； 当日产量由75件提高到90#时，总成本的平均改变量; 当日产量为75件时的边际成本. 解(1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956?25(元) C(75)/75=106?08(元 / 件) (2)当日产量由75件提高到9甲时,总成本的平均改变量 ACC(90)- C(75)Ax90- 75= AC C(90)- C(75) Ax 90- 75 =101.25(元 / 件) =97.5（元）(3)当曰产量为 =97.5（元） C\x) = - x 4- 60 ??? C'(75) = C'(*) 2 注：当销售量为X,总利润为厶时，称“工场销售量 为X时的边际利润，它近似等于销售量为乂时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 例34某糕点加工厂生产力类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 C(*) = 100+2乂 + 0.02*2 和 = 7x + O.Olx2. 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润?并说明其经济意义. 解(1)总利润函数为L(x)=R(x)-C(x) = 5x^10?- 0?01? 边际利润函数为￡/(*) =5-0.02X (2)当日产量分别是200公斤?250公斤和300公斤时的边 际利润分别是 1/(200)= Da)」..=*(元) ￡/（250） = 0（元），乙'（3 00） =—1（元）. 其经济意义：当日产量为200公斤时，再增加1公斤，则 总利润可增加1元?当曰产量为250公斤时，再增加1公斤, 则总利润无增加.当日产量为300公斤时，再增加1公斤， 则反而亏损1元. |结论：当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时(￡/(*)= 0),反而使企业无利可图. 2 ?弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量 变化时，所作出反映的强弱程度? 即弹性是用来描述 一个量对另一个量的相对变化率的一个量. Ax 与△，_ Ax)^/(xe )/(X.)定义 若函数少在点*?（= 0）的某邻域内有定义，且 / Ax 与△，_ Ax)^/(xe ) /(X.) y. 分别为自变量乂与在点X。处的相对增量. 定义 设F =/（乂）当f ? 时，极限lim 勺孚L存在，则称此 ?△工/X? 极限值为函数/Xx）在点工。处的弹性，记为7（xe）. ， 由弹性定义可知⑴若y = f（x）在点f 处可导.则它在乞处的弹性为 ， 由弹性定义可知⑴若y = f（x）在点f 处可导.则它 在乞处的弹性为丝?玉）= 7（^0）= lim (a—?△工 儿 /(x0) （2）/7（x0）的 意是：在七 X 生1%的改 /（X）就会产生77（X0）% 的改变； 当〃（*o） > 0（< 0）时，*与y的变化方向相同（相反） （3）弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关. 例2当a、b、。为常数时，求下列函数的弹性函数及在 点兀=1处的点弹性，并阐述其经济意义. ⑴/*(*) = a 严 (2)/(x) = x f ' （ ） X 解（1）由 7（x） = x ? = - abebx = bx 故 z; （1） = b /（x） 砒（1）的经济意义是：在r = l处， 当b>0时，兀增加（或减少）7%,几妙就增加（或减少）b% ; 当力v 0时，x增加（或减少）2%,几灯就减少（或增加）」％? 解（2）由 77（x）= x f-X^ = a 故耳⑴=a /（x） □（刃的经济意义是： 幕函数在任意一处的弹性均为常数u，从而称之为不变弹性函数. 定义若函数在点齐&<0的某邻域内有定义，且 则称/ x和4y分别是乂和》在点％处的绝 对增量，并称 Ax 与 g = /X”. + Ax)- /Xxo) % y. /(???) 分别为自变量x与齐勿在点兀。处的相对增量. 定义 设卩=?/（*）当0时，极限lim ? "?存在，则称此 八 "十Ax/x0 极限值为函数/（X）在点x0处的弹性，记为77（乂.）? 由弹性定义可知⑴若y = f（x）在点 斗 处可导.则它 在x.处的弹性为 fM 就会产生7/（%炉 的改变； 当0（v?）时,乂与，的变化方向相同（相反） （3）弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关. 例2当小b