312空间向量的数乘运算1.ppt

3.1.2 空间向量的 数乘运算 上一节课 , 我们把平面向量的有关概念及加减运 算 扩展 到了空间 . 加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法 : 三角形法则或 平行四边形法则 减法 : 三角形法则 加法交换律 r r r r a ? b ? b ? a 加法结合律 : r r r r r r ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) 空间向量 加法 : 三角形法则或 平行四边形法则 减法 : 三角形法则 r r r r 加法交换律 a ? b ? b ? a r r ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) 加法结合律 r r r r 注 : 两个空间向量的加、减法 与两个平面向量 的加、减法实质是一样的 . 2 b b a 结论： 1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。 我们知道平面向量还有数乘运算 . 类似地 , 同样可以定义空间向量的数乘运 算 , 其运算律是否也与平面向量完全相同呢 ? 3 a 一、 数乘空间向量的运算法则 与平面向量一样 , 实数 ? 与空间向量 a r 的乘积 ? a r 仍然是一个向量 . ⑴ 当 ? ? 0 时 , ? a r 与向量 a r 的方向相同 ⑵ 当 ? ? 0 时 , ? a r 与向量 r ; ⑶ 当 ? ? 0 时 , ? a r a 的方向相反 ; 是零向量 . 例如 : 3 a r a r ? 3 a r 4 显然 , 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 r r r r 即： ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b 练习 （ 1 ）、（ ? ? ? ） a r ? ? a r ? ? r ? ( ? a r ) ? ( ?? ) a r a A 2 ）、（ 3 ） D F B E C 5 （ P96 1 思考 1 : 已知 平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 ，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量 .( 如图 ) u u u r u u u r D 1 C 1 (1) AB (2) u AB u u r ? BC ? u AD u u r ? u AA u u u r 1 A 1 B 1 (3) 1 ( u AB u u r ? u AD u u r ? u AA u u u r M 1 ) (4) u 3 AB u u r G ? u AD u u r ? 1 CC u u u u r 解： (1) u u u r u u 2 1 D C (2) u AB AB u u r ? ? u BC u r u u r ＝ u AC u u r u u u u r ; u (3) 1 ( u AB u u r AD u u A r u u u u r u u u r u B u u u r u u u u r ? u ? AD u u r AA ? u 1 AA u ? u u r AC 1 ? u AA u u r 1 ? u AC u u r ? CC 1 ? AC 1 1 ) ? AC ? AG (4) u 3 AB u u r 3 ? u AD u u r + 1 u u u u r u u u u r 2 CC 1 ＝ AM . 6 二、共线向量及其定理 定义 : 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合 , 则称这些向量叫 共线向量 .( 或平行向量 ) r r r r 思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a ? ? b , 那 r r 么 a 与 b 有什么关系 ? 反过来呢 ? r r r r 类似于平面 , 对于空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ), r r r r a // b ? ? ? ? R , a ? ? b . r c r b r a 7 二、共线向量及其定理 1. 共线向量 : 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a r 平行于 b r 记作 a r // b r ． 规定 : o r 与任一向量 a r 是共线向量 . a r 2. // b r 共线向量定理： 空间任意两个向量 a ? r b 、 ? 的充要条件是存在实数 ? ，使 a r ? ? b . b r ≠ r 0 ， 8 （ ） r 思考 : 如图 , l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线 , 如何表示 直线 l 上的任一点 P ? A ? r ? ? l B P r 注 : 非零向量 a 叫做