单纯形法之出基入基.docx

通过检验，初始可行解可能不是最优解。通过基变换得到一个新的可行基， 具体做法是 从可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得到新的基本可行解， 使目标函 数值更优。为了换基就要确定换入变量与换出变量。 （1 ）入基变量的确定 从最优解判别定理知道，当某个；j .0时，非基变量Xj不取零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于 0的非基变量换到基变量中去。 若有两个以上的，则为了是目标函 数增加的更大一些，一般选 J最大者的非基变量为入变量。 （2）出变量的确定 确定出基变量的方法如下。把已确定的入基变量在各约束方程中的系数除其所在约束方程 中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。 下面再进行检验其最优性，如果不是最优解还要继续进行基变换，直至找到最优解，或 者能够判断出线性规划无最优解为止。 设P1 P2”…pm是一组线性独立的向量组，它们对应的基可行解是 X（0）。将它代入约束方 n 程组中 PjXj = b， xj _ 0, j = 1,2,..., n 中得到 m 送 X（ °iPi = b （1）i=1 其他的向量 Pm亠1, Pm亠2,... Pm亠t,..., Pn都可以用P1, P2,... Pm,线性表示，若确定非基变量 pm -t为换入变量，必然可以找到一组不全为 0的数（i =1,2,..., m ）使得 m Pm t = " ' i, m tPi i =1 m r Pm t 二 i, m tPi = 0 或 ⑵ i =1 在（2）式两边同乘一个正数 二，然后将它加到（1）式上，得到 m m Z X（°）iPi + T I Pm+t—瓦 Bi,m+tPi 广 b m 或 （X（0）i—i,mt）Pi ^Pm 厂 b（ 3） m个）。i m个）。 当二取适当值时，就能得到满足约束条件的一个可行解（即非零分量的数目不大于 所以只选择x,(0)、0(i = 1,2，…，m)中比值最小的等于 二。以上描述用数学使表述为:X(°)十比,m^0|i ,m J(0)X一：i ti, m亠t这时Xi为换出变量。按最小比值确定 d值，称为最小比值规则。将 二 所以只选择 x,(0)、 0(i = 1,2，…，m)中比值最小的等于 二。以上描述用数学使表述为: X(°) 十比,m^0| i ,m J (0) X 一：i ti, m亠t 这时Xi为换出变量。按最小比值确定 d值，称为最小比值规则。将 二 X(0) A带入X中, 'i, m t 便得到新的基可行解。 (0) X；0) 二(xl0) X(°) -—严0 m,m t 5 l ,m t X(0) .,亠,0…,) l,mt 第I个分量 第m+t分量 由此得到由 x(0)转换到X⑴的各分量的转换公式 Xj⑴ (0 ) X0 -绚,心 ,m it (0 ) p 1, m ■ t X| 这里Xi(0)是原基可行解 X (0)的各分量; Xi⑴是新基可行解 X(1)的各分量; ■i,m t是换 入向量Pmt的对应原来一组基向量的坐标。 现在的问题是，这个新解 X(1)的m个非零分量 (0) X 可以用以下的办法达到： 比较各比值：.(i 一 1,2,...,m)。又因二必须是正数, ,m t 对应的列向量是否线性独立？事实上， 因X (0)的第I个分量对应于X(1)的相应分量是零，即 X (0)…. 0 Xl l,m t 0 其中Xl(0)，日均不为零，根据 日规则(最小比值)，即时式0。X⑴中的m个非零分量对 应的m个列向量是Pj(j =1,2,..., m, j =1)和 巳七。若这组向量不是线性独立，则一定可以 找到不全为零的数:.j，使 m TOC \o "1-5" \h \z Pm t = ' j Pj , j - 1 ( 4) j =1 成立。又因 m P 八 P m t j,m t j (5) j=1 将(5)式减(1)式得到 m 迟(%m4t Yj)Pj",m“P = O j IjT 由于上式中至少有 耳,m半鼻0，所以上式表明P,B,…，Pm是线性相关，这与假设相矛盾。 由此可见，X⑴的m个非零分量对应的列向量 P(j=1,2,...,m)与只十是线性独立的，即 经过基变换得到的解是基可行解。 实际上，从一个基到另一个基可行解的变换 ,就是进行 次基变换。从几何意义上讲，就是从可行域的一个顶点转向另一个顶点。 是风的细语、是雨的柔顺、斑驳了一道道古老的忧伤，刻在了灯火阑 珊处？ 是桥的沧桑、是石的痕迹、流年了一首首陈旧的诗韵，铭在了秋月三 更天？ 海棠红袖添香，墨迹染血苍凉。安静中，晨曦相伴花香，展一笺前世 的千秋歌遥； 清雨深巷幽笛，挥洒寒月银装。情浓处，夕阳西落桃源，留一篇今生 的婉艳霓裳。 挽