再探一道折叠试题.docx

1 1 再探“一道折叠试题” ――《一道折叠试题的探究之旅》引发的思考 浙江省宁波市曙光中学 章剑雄 研读《中学数学教学参考》 2012年第6期刊登的余旭红老师撰写的《一道折叠试题的 探究之旅》一文后，笔者对作者循循善诱、层层引导的教学态度深表敬意，也对这道“折叠 试题”进行了细细咀嚼，联想日常教学，激起笔者再探这道折叠试题的强烈欲望， 现把自己 的一些思考和想法呈现如下，以求教于大方. 1关于折叠问题 原题呈现 如图1,将边长为4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折叠（点E、F分别在 边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P.随 着落点M在AD边上取遍所有的位置（点 M不与A、D重合），试求△ PDM的周长. IDNLHN I D N L H N 全等所需要的一些条件还需先证明△情形下最快的路就是证它们的夹角/EB=EM 得/ EMB =，可得/AMB弋90。 全等所需要的一些条件还需先证明△ 情形下最快的路就是证它们的夹角/ EB=EM 得/ EMB = ，可得/ AMB弋 90。 ;再由/ EBC= / EMN=900 得/ HMB= 900 90° -二「90° 也 2 2 ，则得/ AMB= / HMB，接下来拉上已知的公共边 C 原文中，作者示例了两类解法，解法一：利用相似直接用计算方法求△ PDM的周长； 解法二：猜想周长为AD + DC=8,从而学生把问题转变成用 “截长补短”法证明MP=MA+PC .而 第二类解法正是作者文章重点之所在， 面对学生苦苦探索， 穷尽多种方法，从课内到课外依 然无法找到解决问题的有效突破口，甚至师生人为地增加条件/ MBP=45°也无济于事，无 法越过“障碍”，完成证明. 笔者以为在这道折叠问题中，作者忽略了“折叠即轴对称”这一折叠类问题的基本思 想，即对称轴（折痕）两侧对应图形全等，其中对应边相等，对应角相等.也正因为如此， 面对题目，学生有猜想、有直觉，甚至都准备好了 “截长补短”法这一证明线段和、差的最 直接的方法跃跃欲试时卡在那儿了， 只好绕道行之，并且直至文章结尾都没有解决好， 学生 “悱”而老师未“发” ?事实上，此题在其折叠背景下（图 2），直击“折叠即轴对称”，得 EB=EM、/ EBC = Z EMN=90°这两个基本备用结论?学生想用截长补短的方法，在线段 MP 上已截取 MH = MA的情形下还需证明剩余的 PH=PC，故想及证明△ PHB PCB，而它们 MAB^A MHB，在已有两对等边 MH=MA、MB=MB 的 AMB和/ HMB相等，此时只需设动角/ AME=：?，由 MB = MB，所作的 MH=MA，立马可得△ MAB^A MHB，则得 HB=AB 且/ A= / MHB=900, 又因为正方形 ABCD，所以/ C= / PHB= / MHB=900且HB=AB=CB，轻松证得△ PHB◎△ PCB,所以PH=PC……至此，学生的“悱”畅快而“发” ！并且我们看到证明过程中根本无 需额外再加条件，诸如/ MBP=450等，相反，“/ MBP=450”显而易见可在这两对三角形全 等后/ MBP=— / ABC=45°畅快得之！ 2 2关于“ K”形相似基本图形 2. 1 “ K ”形相似基本图形 在这道折叠图形问题中，隐含着一个巧妙而又实用的相似基本图形（图 3）: CD C D 其有性质：若/ B=Z C= 其有性质：若/ B=Z C= / APD=90°，则 结论的推导较简单：由/ B = / APD=90°得: AB BP AP PC CD PD / A+ / APB= / APB+ / DPC =90°，即/ A= / ABDPC，又/ B=Z AB DPC，又/ B=Z C=90°,则厶 ABPPCD ,即 —— PC BP ap 成立?这个图形极像英文 CD PD 字母“ K”，我们不妨称之为“ K”形相似基本图形.“ K”形图小块头有大用处：相似就能得 到对应角、尤其是对应边的数量关系， 这往往让我们在一些涉及边的数量关系的复杂图形题 目中有着“柳暗花明又一村”的功效. 题1 （某区 题1 （某区2012年初中毕业生学业测试） 如图（图4）,已知点 A、B分别在反比例 函数 y 函数 y = n(x °)、y x m（x 0）的图像上，且 OA丄OB,贝y tanB=（ x (A)(B)(C)(D) (A) (B) (C) (D) 乍一眼看去，这题目整一个云雾缭绕：不确定的函数图像，不确定的点B（b￡ 乍一眼看去，这题目整一个云雾缭绕：不确定的函数图像，不确定的点 B（b￡）可得 n —，即(ab f = -mn, m b A、点B,不确 定的△ AOB,似乎也不确定的/ B，怎