最优化方法最优化问题与凸分析基础.ppt

第一章 最优化问题与凸分析基础 ? 在日常生活中，无论做什么事情，总是有 多种方案可供选择，并且可能出现多种不 同的结果。我们在做这些事情的时候，总 是自觉不自觉的选择一种最优方案，以期 达到最优结果。这种追求最优方案以达到 最优结果的学科就是最优化。寻求最优方 案的方法就是最优化方法。这种方法的理 论基础就是最优化理论，而凸分析又是最 优化理论的基础之一。 1. 最优化问题 ? 最优化问题：求一个一元函数或多元函数 的极值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较 简单的极值问题。下面通过具体例子来看 看什么是最优化问题。 1.1 最优化问题的例子 例 1 对边长为 a 的正方形铁板，在四个角处剪去相等 的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽 的容积最大？ 解：设剪去的正方形边长为 x ，由题意易知，此问 题的数学模型为， 2 max ( 2 ) a x x ? 例 2. （混合饲料配合）设每天需要混合饲料的批量为 100 磅，这份饲料必须含：至少 0.8% 而不超过 1.2% 的钙 ; 至少 22% 的蛋白质 ; 至多 5% 的粗纤维。 假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配 料的主要营养成分如下表所示。试以最低成本确定 满足动物所需营养的最优混合饲料。 配料 每磅配料中的营养含量 钙 蛋白质 纤维 每磅成本（元） 石灰石 谷物 大豆粉 0.380 0.00 0.00 0.001 0.09 0.02 0.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250 解 : 根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下 : 设 是生产 100 磅混合饲料所须的石灰石、谷物、 大豆粉的量（磅）。 3 2 1 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 100 05 . 0 08 . 0 02 . 0 100 22 . 0 50 . 0 09 . 0 100 008 . 0 002 . 0 001 . 0 380 . 0 100 012 . 0 002 . 0 001 . 0 380 . 0 100 . . 1250 . 0 0463 . 0 0164 . 0 min 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x Z 1.2 最优化问题的数学模型 ? 一般形式 ? 向量形式 其中 1 2 1 2 1 2 min ( ) ( ) 0 1 2 . . ( ) 0 1 2 ( ) n i n j n f x x x g x x x i l s t h x x x j m m n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 1 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] T T l m G X g X g X H X h X h X ? ? L L ， ， ， ， ， min ( ) ( ) 0 . . ( ) 0 f G X s t H X ? ? ? ? ? ， ， ， X 1 2 ( , , ) n X x x x ? L ? ? ? ? ? ? min . . 0 0 j i f x s t g x h x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 目标函数 不等式约束 等式约束 称满足所有约束条件的向量 为 可行解，或可行点 ，全体 可行点的集合称为 可行集，记为 。 x ? ? ? ? { | 0, 1,2, , 0, 1,2, , } i j n D x h x i m g x j p x R ? ? ? ? ? ? L L 若 是连续函数，则 是闭集。 ( ), ( ) i j h x g x D D 在可行集中找一点 ，使目标函数 在该点取最小值，即 满足： 的过程即为 最优化的求解过程。 称为问题的 最优点或最优解 ， 称为 最优值 。 * x ? ? f x ? ? ? ? ? ? ? ? * * min . . . 0. 0 j i f x f x s t g x h x ? ? ? * x ? ? * f x 定义 1 ： 整体（全局）最优解： 若 ，对于一切 ， 恒有 则称 是最优化问题的整体最优解。 定义 2 ： 局部最优解： 若 ，