椭圆定义与其标准方程.docx

长（ 长（2r）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1和F2称为椭圆的焦点, F1F2称为焦距（不妨 椭圆定义与其标准方程 【提出问题】 打开课件“椭圆及其标准方程 打开课件“椭圆及其标准方程 .gsp ”，如图1，过圆x+y =a上任意一点 C作直径 AB的垂线CD在线段CD上任取一点E,拖动点 C,观察E点的轨迹是什么图形 椭圆! 怎样给椭圆下一个确切的定义呢？它的标准方程是怎样的呢? 【实验观察】 选择C、5E点，构造E点的轨迹椭圆，如图 2,再拖动点E点，发现椭圆是由圆“压 扁”而成，即当E点与C点重合时，椭圆变为圆。 如图3，以椭圆与y轴的交点F为圆心，a为半径作圆弧交线段 AB于F1和F2，贝U FF1 = FF2 =a，即FFj + FF2 =2a，显然椭圆与坐标轴的四个交点到 F1、F2的距离之 和都等于2a。那么椭圆上其它点是否也有同样特征呢？ 如图4，在椭圆上任取一点 E,连接EF1和EF2，选中丘耳和EF2，度量长度，然后 计算IefJ+|ef2 o拖动E点，观察选中ER、EF2和|efJ+ EF2的值。 1.5图22BjfF-. \2a\f1 1.5 图2 2 B jf F-. \ 2a\f1、「3O F 图3 x 【实验结论】 2.5 1.在E点运动时, EF1、EF2的值变化，但|EF」+ EF2 2.由以上实验现象，对照圆的定义给椭圆下定义：到两个定点（ 的值保持2a不变 Fj和F2）的距离为定 记为2c） 两个定点F1、F2的距离2c与定长2a的关系： 尝试写出椭圆的标准方程 在图1中，设 E x, y，贝U C点坐标为 x,tyji〕t_1，因而 E点的轨迹方程为 2 2 2 2 x2 t2y2二a2，化简为冷?丄2 =1,再令-=b，则进一步化简为 笃?笃=1 a2 ? f t a2 b2 T 在图3中，寻找a,b,c之间的关系： 【应用练习】 例1.已知椭圆的焦距为 6，椭圆上的点到两焦点距离之和为 10,求椭圆的标准方程。 例2. 【拓展探究】 在图1中，将E点沿直线DC拖动到圆外时，轨迹图 形会发生怎样的变化？ 如果还是椭圆，请解释其原因，并准确作出椭圆的 焦点。