2021离散数学树课件.ppt

最优二叉树 定义 16.9 设 2 叉树 T 有 t 片树叶 v 1 , v 2 , … , v t ，权分别为 w 1 , w 2 , … , w t ，称 为 T 的权，其中 l ( v i ) 是 v i 的层数， 在所有有 t 片树叶、带权 w 1 , w 2 , … , w t 的 2 叉树中， 权最小 的 2 叉树称为 最优 2 叉树 。 1 ( ) ( ) t i i i W t w l v ? ? ? 31 第 16 章 树 离 散 数 学 本章说明 ? 树是图论中重要内容之一。 ? 本章所谈 回路均指初级回路（圈）或简单回路 ， 不含复杂回路（有重复边出现的回路）。 2 16.1 无向树及其性质 定义 16.1 无向树 —— 连通无回路的无向图，简称树，用 T 表示。 平凡树 —— 平凡图。 森林 —— 若无向图 G 至少有两个连通分支（每个都是树）。 树叶 —— 无向图中悬挂顶点。 分支点 —— 度数大于或等于 2 的顶点。 举例 如图为九个顶点的树。 3 定理 16.1 设 G ＝ < V , E > 是 n 阶 m 条边的无向图，则下面各命题是等 价的： （ 1 ） G 是树。 （ 2 ） G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 （ 3 ） G 中无回路且 m ＝ n ? 1 。 （ 4 ） G 是连通的且 m ＝ n ? 1 。 （ 5 ） G 是连通的且 G 中任何边均为桥。 （ 6 ） G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。 无向树的等价定义 4 (1) ? (2) 如果 G 是树 ，则 G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径 。 存在性。 由 G 的连通性及定理 14.5 的推论（ 在 n 阶图 G 中，若从顶点 v i 到 v j ( v i ? v j ) 存在通路，则 v i 到 v j 一定存在长度小于等于 n -1 的初级 通路 ( 路径 ) ）可知， ? u , v ∈ V ， u 与 v 之间存在路径。 唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设 Г 1 与 Г 2 都是 u 到 v 的路径， 易知必存在由 Г 1 和 Г 2 上的边构成的回路， 这与 G 中无回路矛盾。 5 (2) ? (3) 如果 G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径 ， 则 G 中无回路且 m ＝ n - 1 。 首先证明 G 中无回路。 若 G 中存在关联某顶点 v 的环， 则 v 到 v 存在长为 0 和 1 的两条路经 ( 注意初级回路是路径的特殊情况 ) ， 这与已知矛盾。 若 G 中存在长度大于或等于 2 的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。 6 (2) ? (3) 如果 G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径 ， 则 G 中无回路且 m ＝ n - 1 。 其次证明 m ＝ n -1 。（归纳法） n ＝ 1 时， G 为平凡图，结论显然成立。 设 n ≤ k ( k ≥1)时结论成立， 当 n = k +1 时，设 e ＝ ( u , v ) 为 G 中的一条边， 由于 G 中无回路，所以 G - e 为两个连通分支 G 1 、 G 2 。 设 n i 、 m i 分别为 G i 中的顶点数和边数，则 n i ≤ k ， i ＝ 1,2 ， 由归纳假设可知 m i ＝ n i -1 ，于是 m ＝ m 1 + m 2 +1 ＝ n 1 -1+ n 2 -1+1 ＝ n 1 + n 2 -1 ＝ n -1 。 7 只需证明 G 是连通的。（采用反证法） 假设 G 是不连通的，由 s ( s ≥ 2 ) 个连通分支 G 1 , G 2 ,…, G s 组成 ， 并且 G i 中均无回路，因而 G i 全为树 。 由 (1) ? (2) ? (3) 可知 ， m i ＝ n i - 1 。 于是 ， 由于 s ≥ 2 ， 与 m ＝ n - 1 矛盾 。 1 1 1 ( 1) s s s i i i i i i m m n n s n s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) ? (4) 如果 G 中无回路且 m ＝ n -1 ，则 G