高中数学课时提升作业(二十三) 3.8.docVIP

PAGE 13 - 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(二十三) 　正弦定理、余弦定理的应用举例 (25分钟　50分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不一定能确定A,B间距离的是　(　　) A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 【解析】选A.选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.选项A中利用正弦定理求β时可能会有两解,故选A. 2.(2015·赣州模拟)在△ABC中,已知AB=43,AC=4,B=30°,则△ABC的面积是 　(　　) A.43 B.83 C.43或83 D.3 【解析】选C.由正弦定理,ABsinC=ACsinB,sinC=ABsinB 所以C=60°或120°,A=180°-(A+C)=90°或30°. 当A=90°时,S△ABC=12AB×AC×sinA=12×43×4×1=8 当A=30°时,S△ABC=12AB×AC·sinA=12×43×4×12 3.某工程中要将一长为100m,倾斜角为75°的斜坡,改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长　(　　) A.100m B.100m C.50(2+6)m D.200m 【解析】选A.设坡底需加长xm, 由正弦定理得100sin30°=xsin45°,解得x=100 4.在△ABC中,面积S=a2-(b-c)2,则cosA=　(　　) A.817　　　 　B.1517　　　 　C.1315　　　 【解析】选B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA=12 所以sinA=4(1-cosA), 16(1-cosA)2+cos2A=1,所以cosA=15 5.(2015·南昌模拟)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是　(　　) A.10m B.10m C.10m D.10m 【解析】选D.设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°, ∠ACB=60°,AB=x, 从而有BC=33x,AC=233x,在△BCD中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15° ∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定理可得,BCsin∠BDC=CDsin∠CBD,可得,BC=10sin45°sin30°=10 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则?ABCD的面积为　　　　　　. 【解析】?ABCD的面积S=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin60°=93. 答案:93 7.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为　　　　　m. 【解析】设电视塔AB高为xm, 则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x. 在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=3x. 在△BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°, 即(3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, 解得x=40,所以电视塔高为40 m. 答案:40 8.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为　　　　小时. 【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解. 【解析】如图,设舰艇在B′处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB′=21t, CB′=9t. 在△AB′C中,根据余弦定理,则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°, 可得,212t2=102+81t2+2·10·9t·12 整理得360t2-90t-100=0, 解得t=23或t=-5 故舰艇需23 答案:2 【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方