2017 2018人教A版选修2 2113导数的几何意义课件55张解析.ppt

[ 解析 ] 由点 P 到直线 y ＝ 4 x － 5 的距离最短知，过点 P 的切线方程与直线 y ＝ 4 x － 5 平行．设 P ( x 0 ， y 0 ) ，则 4 ? x ＋ Δ x ? － 4 x 8 x ·Δ x ＋ 4 ? Δ x ? Δ y y ′ ＝ lim ＝ lim ＝ lim ＝ lim (8 x ＋ 4Δ x ) ＝ 8 x ， Δ x Δ x Δ x → 0 Δ x Δ x → 0 Δ x → 0 Δ x → 0 ? ? 8 x 0 ＝ 4 ， 由 ? 2 ? ? y 0 ＝ 4 x 0 ， 2 2 2 1 ? ? x 0 ＝ ， 2 得 ? ? ? y 0 ＝ 1. ? 1 ? ? ? P ? 2 ， 1 ? . ? ? 故所求的点为 ? 『规律总结』 求最值问题的基本思路： (1) 目标函数法： 通过设变量构造目标函数，利用函数求最值； (2) 数形结合 法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值． 〔 跟踪练习 3 〕 导学号 11 2 2 8 曲线 y ＝－ x 上的点到直线 x － y ＋ 3 ＝ 0 的距离的最小值为 ________. [ 解析 ] 解法一：设曲线 y ＝－ x 上任一点 P ( x 0 ， y 0 ) ，则 － y ＋ 3 ＝ 0 的距离 | x 0 － y 0 ＋ 3| d ＝ ＝ 2 2 | x 0 ＋ x 0 ＋ 3| 2 2 y 0 ＝－ x 0 ， P 到直线 x 2 2 1 2 11 ＝ [( x 0 ＋ ) ＋ ] ， 2 2 4 1 11 2 当 x 0 ＝－ 时， d min ＝ . 2 8 解法二：设与 x － y ＋ 3 ＝ 0 平行的直线方程为 x － y ＋ m ＝ 0 ， ? 由 ? ? y ＝－ x 2 2 ? 消去 y 得： x ＋ x ＋ m ＝ 0 ， ? x － y ＋ m ＝ 0 |3 － 1 Δ ＝ 1 － 4 m ＝ 0 ，∴ m ＝ 1 4 ，∴所求最小距离 d ＝ 4 | 2 ＝ 11 2 8 . 解法三：设与直线 x － y ＋ 3 ＝ 0 平行的直线与曲线 y ＝－ x 2 切于点 P ( x 0 ， y 0 ) ， 则由 － ? x 0 ＋ Δ x ? Δ y y ′ ＝ lim ＝ lim Δ x Δ x → 0 Δ x Δ x → 0 1 ? x 0 ＝－ ? ? 2 ? － 2 x 0 ＝ 1 由 ? 2 得， ? ? 1 ? y 0 ＝－ x 0 ? y 0 ＝－ 4 ? 2 2 ＋ x 0 ＝ lim ( － 2 x 0 － Δ x ) ＝－ 2 x 0 ， Δ x → 0 ， 1 1 ∴ P ( － ，－ ) ，点 P 到直线 x － y ＋ 3 ＝ 0 的距离 2 4 1 1 | － ＋ ＋ 3| 2 4 11 2 d ＝ ＝ . 8 2 导数几何意义的综合应用 ? 导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数，即曲线 f ( x ) 在点 x 0 处的切线的斜率去求切点坐 标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、 斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相 关问题． 已知直线 l 1 为曲线 y ＝ x ＋ x － 2 在点 (1,0) 处的切线， l 2 为该曲线的 2 另一条切线，且 l 1 ⊥ l 2 . 导学号 (1) 求直线 l 1 ， l 2 的方程； (2) 求由直线 l 1 ， l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积． f ? 1 ＋ Δx ? － f ? 1 ? Δy [ 解析 ] (1) f ′ (1) ＝ lim ＝ lim Δx Δx → 0 Δx Δx → 0 [ ? 1 ＋ Δx ? ＋ ? 1 ＋ Δx ? － 2] － ? 1 ＋ 1 － 2 ? ＝ lim ＝ lim ( Δx ＋ 3) ＝ 3 ， Δx Δx → 0 Δx → 0 2 所以直线 l 1 的方程为 y ＝ 3 x － 3. 设直线 l 2 与曲线 y ＝ x 2 ＋ x － 2 相切于点 B ( b ， 则可求得切线 l 2 的斜率为 2 b ＋ 1. 因为 l ，则有 2 b ＋ 1 ＝－ 1 3 ， b ＝－ 2 1 ⊥ l 2 3 . 所以直线 l 的方程为 y ＝－ 1 22 2 3 x － 9 . b 2 ＋ b － 2) ， ? 1 ? y ＝ 3 x － 3 ， x ＝ ， ? ? 6 (2) 解方程组 ? 得 ?