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第四章 解读函数的级数表示
§1. 复数项级数
一. 复数序列的极限
定 义 :
设 为一个复数序列,其中 ,
又设 为一个复定值 . 若
使得 有不等式
恒成立,则称复数序列 收 敛 于
,或称 以 为 极限 ,记作
或 .
如果对于任意复数 , 上 式
均不成立,则称复数序列 不收敛 或 发散 .
定理 1 设 , ,则
定理 1 说明 : 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性 .
1 / 12
二. 复数项级数
定义 : 设 为一个复数序列,表达式
称为 复数项无穷级数 . 如果它们的部分和序
列
有极限 <有限复数),则称级数是
收 敛 的 , S称为级数的
和 ;如果 没有极限,则称级数是 发 散
的.
例 1. 当 时,判断级数
是否收敛?
定 理
2级数 收敛的充分必要条
件是实数项级数 与
都收敛 .
定理 2 说明 : 可将复级数的敛散性转化为判别两
个实级数的敛散性 .
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定理 3 < 级数收敛的必要条件 )若级数
收敛,则 .
显然,收敛级数的各项一定有界 .
定理 4 若级数
收敛,则级数
一定收敛 .
定义 : 若级数 收敛,
则称级数 绝 对 收
敛 ,若级数
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