202122抛物线的简单性质.ppt

直线与抛物线位置关系 孟润利 ? 1 ．抛物线的定义 ? 平面内与一个定点 F 和一条直线 l ( l 不经过点 F ) 距离相等 ? 的 点 的 轨 迹 叫 做 抛 物 焦点 线．点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫 准线 做抛物线的 ． ? 2 ．抛物线的几何性质 类型 y ＝ 2 px ( p 0) 2 y ＝－ 2 px ( p 0) 2 x ＝ 2 py ( p 0) 2 x ＝－ 2 py ( p 0) 2 图象 类型 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 开口方向 y ＝ 2 y ＝－ 2 x ＝ 2 x ＝－ 2 2 px ( p 0) 2 px ( p 0) 2 py ( p 0) 2 py ( p 0) ? p ? ? ， 0 ? ? 2 ? ? p ? ? － ， 0 ? ? 2 ? ? p ? ? 0 ， ? 2 ? ? ? p ? ? 0 ，－ ? 2 ? ? p x ＝－ 2 x ≥ 0 ， y ∈ R x 轴 p x ＝ 2 x ≤ 0 ， y ∈ R p y ＝－ 2 y ≥ 0 ， x ∈ R y 轴 p y ＝ 2 y ≤ 0 ， x ∈ R 性质 原点 (0,0) e ＝ 1 向右 向左 向上 向下 1 ．抛物线 ? 1 ? ? 0 ，－ ? 2 y ＝－ x 的焦点坐标为 ? 4 ? . 2 ．已知抛物线的焦点坐标为 ( － 3,0) ，准线方程为 x ＝ 3 ，则抛物 线的标准方程为 y 2 ＝－ 12 x . 例题讲解 ? 例 1 ： 2 直线 l ： y ＝ kx ＋ 1 ，抛物线 C ： y ＝ 4 x ， 当 k 为何值时， l 与 C 有： ? (1) 一个公共点； (2) 两个公共点； (3) 没有公 共点． 分析：要判断直线与抛物线位置关系，只需将 直线与抛物线联立，消 y （或 x ），判断方程解 的情况 ? ? y k x 1 ＝ ＋ ? 2 [ ] 解 题过程 解：联立 ? y ＝ 4 x ? k x ＋ ( 2 k － 4 ) x ＋ 1 0 (*) 得 ＝ 2 2 ， 消 y 1 1 k 0 时，方程变为－ 4 x ＋ 1 0 x y 1 （ ） 当 ＝ ＝ ， ＝ ，此时 ＝ ， 4 ? ? 1 ? ， l 与 C 只有一个公共点 1 ∴ 直 线 4 ? ? 此时直线 l 平行于 x 轴． 2 k 0 时，方程 ( *) （ ） 当 ≠ 是 一个关于 x 一元二次方程， ( 2 k － 4 ) － 4 k × 1 1 6 1 6 k . Δ ＝ ＝ － 2 2 ? ①当 Δ 0 ，即 k 1 ， 且 k ≠ 0 时 ， l 与 C 有两个公共 点，此时 l 与 C 相交； ? ②当 Δ ＝ 0 ，即 k ＝ 1 时， l 与 C 有一个公共点，此 时直线 l 与 C 相切； ? ③当 Δ 0 时，即 k 1 时， l 与 C 没有公共点，此时 直线 l 与 C 相离． ? 综上所述， (1) 当 k ＝ 1 或 k ＝ 0 时，直线 l 与 C 有一 个公共点； ? (2) 当 k 1 且 k ≠ 0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； ? (3) 当 k 1 时，直线 l 与 C 没有公共点． ? [ 题后感悟 ] ? 判断直线与抛物线的位置关系，将直 线方程与抛物线方程联立消去 y ( 或 x ) ，整 理成关于 x ( 或 y ) 的方程． 注意讨论二次项 系数是否为零． 若二次项系数为零，直 线与抛物线有一个交点，此时 直线平行 于抛物线的对称轴 ；若二次项系数不为 零，则通过判别式 Δ 判断公共点的个数． 自主练习 1 ．设抛物线 y ＝ 8 x