积分因子法在常微分方程中的应用文献综述.doc

文献综述 积分因子法在常微分方程中的应用 前言部分 常微分方程的解在物理、生物、地理以及经济等各个学科领域屮都冇广泛而重要的应川. 而常微分方程的解法是常微分方程的主要研究之一?例如，常数变易法、升降法、吾加法、积 分因了法等等都是常微分方程的解法?木课题主要综述一些常用的求解方法. 在此Z前先介绍一些有关的概念： 定义1山：一般来讲，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量Z间的关系的方程，叫 做彳分方程. 做彳 分方程. dudX dudXn (1.D 例如吐=2心芈 =x2 +)，都是微分方程. dx dx 微分方程包括偏微分方程和常微分方程. 定义2同：由自变量石,禺,…心(刃丄2),未知函数"及其一阶偏导数竺，竺 ox{ ox2 组成的关系式 就是一阶偏微分方程. 定义3［2］：如果在微分方稈中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方 程. =0,dx ? =0, dx ? 筹+讣)贻+ ??? + %(唸+认”灯⑴都是常微分方程. 定义4〔习:微分方程中岀现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶数. 斤阶常微分方程的一般形式是 F(x,(1.2) 这里y(，' = 1,2,…，町，F是x,的己知函数,并且其-中必须含有)」"). 定义5比 设函数y =(p(x)在区间a<x<bfy.且有已知的到斤阶的各阶导数，使得尸（无,讥无）,0（兀）,一,0何（兀））三0在a <x<h内成立，则称函数y =（p[x）为方程（1.2）的 解. 一般的，如果常微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，则称 这样的解为常微分方程的通解?满足初值条件的解称为特解. 定义6[4]：对称形式的一阶微分方程 P（x,y）dx + Q（x,y）dy = 0 （1. 3） 如果存在一个可微函数0（无丿），使得它的全微分为 d（fi（xyy） = P（x,y）dx + Q（x,y）dy 即它的偏导数为 ￥=pg）,警以 S） ox oy 则称（1. 3）为恰当方程或全微分方程. 定义7[4]：对一般的方程 P（x,y）dx + Q（x,y）dy = 0 （1. 4） 设法寻找一个可微的非零函数“ =“（x,y）,使得用它乘方稈（1.4）后,所得方稈 “ （x, y） P （兀,y）dx + “ （兀,y ） Q （兀,y）dy = 0 为恰当方程，亦即 dy dx 这时，函数“二“（无,y）叫做方程（1. 4）的一个积分因子. 定义8[41：把非齐次线性微分方稈 (1.5)(1.6)字+ p（x）y = q（兀） (1.5)(1.6) 改写为如下对称形式 dy + p^x^yclx = q^x^dx一般而言，（1.6）不是恰当方程.但将积分因子“（兀）二丿小〃乘方程（1.6）两侧（其中dy + 丿"⑴山 P（x））心=￡ A"' M' q^x^dx 它是全微分的形式，即 彳丿畑y] = djq（x>>% \ 丿 由此可以直接进行积分，得到通积分 』（性=巾（?畑人+C 这样就求出了方程（1.6）的通解 ）,=/"（也（C+ Jg（x）b（M心），C是任意常数 这样的求解微分方程的方法叫做积分因子法?因为在求解的过程中是用因子“（X）乘微分方 程（1. 6）的两侧将其转化为全微分方稈,从而求得了它的积分，所以称为积分因了法. 在此我们主要综述了研究常微分方程的历史背景、常微分方稈的相关概念、常微分方 程的求解方法等. 主题部分 常微分方稈在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为以下几个阶段. 发展初期是针对具体的常微分方程，希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通 解”的时代. 刘维尔在1841年证明了里卡蒂方稈不存在一般的初等解，同时柯西又提出了初值问题. 因此，早期的常微分方稈的求解热潮屮断了，而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解” 时代. 19世纪末，常微分方稈的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代?那是由天 体力学屮的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的. 20世纪末六七I?年代以后，常微分方程在计算机技术发展的促进下，从“求所有解”时 代转入“求特殊解”时代. 常微分方稈的研究还与其他学科或领域结合，出现了各种新的研究分支. 众所周知，常微分方程是数学联系实际的主要桥梁Z—，也是科学、工稈和技术领域乃至 经济和其他社会学科中应用I?分广泛的重要数学工具.它是伴随着微积分学一起发展起来的. 它的形成与发展和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展也密切相关，同时它继续 推动着这些学科的发展?微分方程的兴起解决了一些需要专门技术求解的复杂的问题. 常微分方程的概念、解法和其它理论有很多?比如，微分方程和方程纽?的种类及解法、解 的存在性和唯一性、奇