第五章定积分学习指导.docx

第五章 定积分学习指导 一、基本内容 （一）定积分的定义 设f x在a,b上有界，在a,b 1上任意插入若干个分点a =x° ：：： X! ：：： x2 :::… :::Xn丄：:：Xn =b ，把a,b ］分成n个小区间Xi」,Xi丨，小区间的长度为 ?* = X - x/i =1,2/ n），在每个小区间上取点\， X」_ i _ Xi，作和式 n S八f i冷。 i =4 证，二maxi* ?,若当， 0时，对区间的任意分法及每个小区间中 的任 i 意取法，s均有确定的极限i，则称f x在a,b】上可积，极限i为f x在a,b i上 b 的定积分，记为 f x dx。 La TOC \o 1-5 \h \z a n b f x dx =lim0 f i * （二 ）有关定积分的重要性质和定理 2.可加性： b c b f x dx f x dx 亠 i f x dx ■ a a c 1 .线性性: 1 .线性性: bkf x Igx dx 二 k J xdx l bg xdx 比较性：若在a,b 上 f X -g X，则bf xdx —丨X dx，取g X =0得 a a 若 f X -0，贝U bf Xdx —0 T a 估值性：设M和m是f x在a,b上的最大值和最小值，则 b mb- a fxdx_Mb-a。 L a 积分中值定理：若f x在a,b上连续，则 a,b】，使 「f (x dx = f ) a 兰 E 兰 b *a 称为f x在a,bi的平均值。 可变上限的定积分及其性质 设 f X 在 a,b 1 上连续，门 x xf x dx(a ：：： x ：：：b)，贝x 在 la,bl连续、 ■ a 可导且Ax = f x，即门x是f x的一个原函数。 定积分的计算 ?牛顿-莱布尼兹公式：若F x是f x的一个原函数，贝U TOC \o 1-5 \h \z b b L f(x dx = F(xL = F(b)—F(a) ?换元积分法：略 b b b 3.分部积分法： udv=uVa - udv a a 广义积分 无穷区间上的广义积分 设f X在a, ? J内连续，取b ■ a若Jim.- a、x dx存在，则称广义积分 b f xdx收敛，否则为发散，同理可定义 f x dx和 f x dx。 a .... 无界函数的广义积分 设f X在a,b上连续，在点a的某邻域内无界，取；? 0，若lim b f x dx y a 二 b 存在，称广义积分 f x dx收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间 * a 内部的广义积分。 二、 基本要求 掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景； 掌握变积分限函数的性质及求导方法； 掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法； 4 .理解定积分的有关性质并注意解题与证题中的应用； 5.了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。 三、 重点与难点 重点：定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算； 难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。 四、 学习中应注意的几个问题 1 ?理解定积分的几何意义: b f x dx( f x - 0)由曲线y = f x及直线x = a， -a x = b和y = 0所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础; 时，Jb xa b 2.积分限问题。在 f x dx中一般b ■ a，但为讨论问题的方便，规定a = b ■ a b a f x dx = 0 ; a b 时， f x dx f x dx; L a L b 3. 4. 遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论; 用换元法积分时，应牢记换元应换限； 5. 6. 解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用导数来处理; a 二个公式：若f x是奇函数则 f X dx = 0 .a a a 若f x是偶函数则 f X dx = 2 f X dx _a ? 0 五、典型例题 例 1 计算 Ji | I n x dx 1 解：??? In xdx-xl nx- x dx=x| nx—x C x I占卜 1 e 原式 =1 - In xdx 亠 i In xdx e ? 1 e =xln x- x ］亠〔xln x- x r e 2 =1 1 e 1 sinx ■- 例2求极限lim xt+ 3 厂 一 x 2 1sinx 解：原式 =lim ^-^ == - lim sinx T 3 — 3xto x 2、x a 例3证明：若fx是奇函数，贝U fxdx = 0 -a a 证：??? *. a 0 而 -_a a 0 a f X dx =』f X dx 0 f X dx 0 0 af -t -d^ af