数学选修45学案§2.1.3不等式的证明.docx

精品文档 精品文档 PAGE PAGE8 精品文档 PAGE 选修4-5学案  §2.1.3  不等式的的证明  (3)  姓名 ☆学习目标：  1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法  ; 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 知识情景： 0 1.不等式证明的基本方法：1.比差法与比商法(两正数时)． 0 2. 综合法和分析法． 30.反证法、换元法、放缩法 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法 . 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系  ：A  B1  B2  Bn  B 分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义 、 公理或已证的定理 、 性质 等), 从而得出要证的命题成立 ,这种证明方法叫做分析法 . 这是一种执 索 的思考和证明方法. B B1B2 BnA 结 步步寻求不等式 已 用分析法证明不等式的逻辑关系 ： ( 论 成立的充分条件) 知 新知建构： 反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成 立. 例1 已知 a + b + c >0 ， ab + bc + ca >0， abc >0，求证： a bc >0 . ,, 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性 . 常用的换元有三角换元有： 10 ．已知x2 y2 a2，可设 ， ； 20 ．已知x2 y2 2 1，可设 ， ( 0r1 )； x 2 y 0 1 . 3 ．已知 a 2 b 2 ，可设 ， 例2设实数 x,y满足x2 (y1)2 1，当x yc 0时，c的取值范围是（ ） A.[2 1, )B.( , 2 1] C.[2 1,)D.(,21] 例3已知x2 y2 1，求证： 1 a2 yax 1 a2 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出 ,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如： a2 1 a，n(n 1) n， ②将分子或分母放大（或缩小）如： 1 1 1 n(n 1) n2 n(n 1) ③应用“糖水不等式”：“若0 a b，m 0，则a a m” b b m ④利用基本不等式，如： lg3 lg5 ( )2 lg4； ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如： sinx≤1 x R ； ⑦绝对值不等式：a b≤ a b≤a b； ⑧利用常用结论：如： 1 2 2 2 k 1 k k N * ,k1 ， k k k k k 1 1 2 2 2 k k * ,k 1 k k k k k1 1kN ⑨应用贝努利不等式：(1 x)n 1 nx n(n 1)x2 xn 1 nx. 1 2 例4 当n>2时，求证：logn(n 1) log(n1)n 例5 1 1 1 1 3. 求证：1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 n 例6若a,b,c,d + a b c d R，求证：1 abdbcacd 2 bdac 选修4-5练习 §2.1.3不等式的证明(3) 姓名 1、设二次函数f(x) x2 pxq，求证：f(1),f(2),f(3) 中至少有一个不小于 1 . 2 1 a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于 、设0<a,b,c<1，求证：(1 4 3 、已知 ab0 ，求证：n a n b （n N且n 1） . 4、若x,y>0，且x+y>2，则 1 y和1 x中至少有一个小于2。 x y 5、已知 1≤x2 y2≤2，求证：1≤x2 xy y2≤3 2 6、设f(x) x2 x 13，x a 1，求证： f(x) f(a) 2 a 1； 7、求证：1 x 1 1 2 x1 3 x a b a b 8、求证 . 1 a b 1 a 1 b 9 n 为大于1 的自然数，求证 1 1 1 1 1. 、设 n 1 n2 n3 2n 2 1 1 1 1 2. 10、若n是自然数，求证 22 32 n2 12 11、求证： 3 1 1 1 1 2 1 (n≥2) 2 n1 22 n2 n 12、求证：2n1 2 1 1 1 1 2 n n N* 2 3 n 参考答案: 例1 例2 例3 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分多析次、尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是： 2 2 ①添加或舍去一些项，如： a2 1 a， n(n