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4.3 向量与实数相乘
向量的数乘
以下是生活中我们常见的实例.
1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声?这是因
为在同一方向上光速远远大于声速,经测量,光速大小约为声速的 8.7×105倍.
2.一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式 vt=gt可知,它在 1s末和2s
末的速度,大小分别为 v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.
以上两个问题反映了向量的何种运算呢?
实数与向量相乘的法则
1.将向量v乘以一个正数λ,得到一个向量λv,它的方向与v相同,长度|λv|是|v|的λ倍.
2.将向量v乘以一个负数λ,得到一个向量λv,它的方向与v相反,长度|λv|是|v|的|λ|倍.
3.向量v乘以0得到的0v是零向量.
1.已知λ,μ∈R,则在以下各命题中,正确的命题有
(
)
①λ<0,a≠0,λa与a的方向一定相反;
②λ>0,a≠0,λa与a的方向一定相同;
③λ≠0,a≠0,λa与a是共线向量;
④λμ>0,a≠0,λa与μa的方向一定相同;
⑤λμ<0,a≠0,λa与μa的方向一定相反.
A.2个
C.4个
B.3个
D.5个
[提示] 由λa方向的规定易知,命题①②③正确;对于命题④与⑤,当
与μ同为正或同为负,所以 λa与μa或者都与 a同向,或者都与 a反向,因而
λμ>0时,λ
λa与μa同
向,故命题④正确;当
λμ<0时,λ与μ异号,则
λa与μa中,一个与
a同向,一个与
a反
向,因而 λa与μa反向,故命题⑤正确.故选
D.
2.化简:
4(a-b)-3(a+b)-b.
[提示]
a-8b.
向量的平行
1.当非零向量 a,b方向相同或相反时,我们既称 a,b共线,也称 a,b平行.
2.零向量与所有的向量平行.
3.两个向量平行 ?其中一个向量是另一个向量的实数倍.
―→
―→
可否得出A,B,C三点共线?反过来成立吗?
由向量AB
=λAC
[提示]
―→
―→
―→
―→
有公共点A,从而A,B,C三点共线,反之也成
由AB=λAC
,又AB
,AC
立,这是证明三点共线的常用方法.
向量与实数的乘法运算律及单位向量
1.向量与实数的乘法满足以下运算律
设a是任意向量,x,y是任意两个实数,则
(x+y)a=xa+ya,x(ya)=(xy)a.
设a,b是任意两个向量,λ是任意实数,则λ(a+b)=λa+λb.
2.单位向量:长度为 1的向量称为单位向量.
向量的线性运算
[例1] 计算:
(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
11
322a+8b-4a-2b;
(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简.
[边听边记] (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c
(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c
6a+4b.
1
(2)原式=3[a+4b-4a-2b]
1
3(-3a+6b)=2b-a.
(3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b
=-2(m+n)b.
借题
发挥
向量的线性运算类似于代数多项式的运算,主要是 “合并同类项 ”“提取公因
式”,但这里的“同类项”、“公因式”指向量,实数看作是向量的系数 .
.
(1)
化简2
4a-3b+1
b-1
6a-7b;
1
3
3
4
设向量a=3i+2j,b=2i-j,
求1
2
-
.
3
3
(2b
a)
解:(1)原式=2
1
37
34a-3b+3b-2a+4b
2
3
1
7
=
3
4-2a+
-3+3
+
4b
2
5
11
5
11
32a-12b=3a-18b.
1 2
(2)原式=3a-b-a+3b+2b-a
1-1-1a+-1+2+2b
3 3
=-
5
5
b=-
5
5
(2i-j)
a+
(3i+2j)+
3
3
3
3
=-5+
10
i+
-
10
-
5
5
3
3
3
j=-i-5j.
3
共线向量定理及其应用
[例2] 两个不共线的向量 e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,是
否存在这样的实数
[思路点拨]
λ,μ,使向量d=λa+μb与向量根据向量共线定理,若存在实数
c共线?
k,使d=kc,则
d,c共线.反之,则不
共线.
[边听边记] d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2.
要使d与c共线,则存在实数 k,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e
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