数学新同步湘教版必修2第4章4.5.2利用数量积计算长度和角度.docx

精品文档 精品文档 PAGE PAGE7 精品文档 PAGE 4．5.2 利用数量积计算长度和角度 长度、夹角余弦公式及垂直条件 1．长度公式 |a|＝a·a. 2．夹角余弦公式 cos〈a，b〉＝ a·b ＝ a·b 22. |a||b| a·b 3．垂直条件 a·b＝0?a⊥b. 已知向量 π A.6 π C.3 [提示]  a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( ) B． π 4 π D．2 设a，b的夹角为θ，则cosθ＝ a·b ＝ 2 ＝ π 1，∴θ＝. |a||b| × 4 2 3 1 模的问题 [例1] 已知向量 a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)|a＋b|； (2)|3a－4b|； (3)|(a＋b)·(a－2b)|. [边听边记] 由已知得 a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120＝°－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝ 4. 2 2 2 2 (1)∵|a＋b|＝(a＋b) ＝a＋2a·b＋b 16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a＋b|＝23. 2 2 2 2 (2)∵|3a－4b|＝(3a－4b) ＝9a －24a·b＋16b 9×16－24×(－4)＋16×4＝304， |3a－4b|＝419. (3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2 16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 借题 关系式a2＝|a|2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题 发挥 是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方 . 1．已知向量 a，b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围． 解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3. 又a·b＝－12，∴|a·b|＝12. |a·b|≤|a||b|， 12≤3|b|，∴|b|≥4. 故|b|的取值范围是 [4，＋∞)． 两向量的垂直与夹角问题 [例2] 已知非零向量 a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直， 求a与b的夹角． a·b [思路点拨] 首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与 cosθ＝|a||b|联立求解． [边听边记] a＋3b·7a－5b＝0， 由已知条件得 a－4b·7a－2b＝0， 7a2 ＋16a·b－15b2＝0， ① 即 －30a·b＋8b2＝0， 7a2 ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得 a2＝b2，∴|a|＝|b|， 12 b a·b 2 1 π ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3. (1)两向量垂直通常用来列方程，达到化简条件或求值的目的． 借(2)要求a与b的夹角，只要求出|a|，|b|及a·b即可．注意向量夹角的取值范围． 题 由cosθ＝a·b 发 |a||b|(其中a，b是非零向量，θ是a与b的夹角)判定θ的大小时，有五种可 能情形：①当cosθ＝1时，θ＝0°； ②当cosθ＝0时，θ＝90°； 挥 ③当cosθ＝－1时，θ＝180°；④当cosθ＜0且cosθ≠－1 时，θ为钝角； ⑤当cosθ＞0，且cosθ≠1时，θ为锐角. 2．已知向量 a，b的夹角为 30°，且|a|＝ 3，|b|＝1，求向量 p＝a＋b与q＝a－b的夹 角θ的余弦值． 解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2. ∵|p|＝|a＋b|＝ a2＋2a·b＋b2＝ 3＋23cos30°＋1＝ 7， |q|＝|a－b|＝ 2 2 3－23cos30°＋1＝1， a －2a·b＋b＝ ∴cosθ＝p·q ＝ 2 ＝2 7 |p||q| 7×1 7. 1．已知向量 a，b满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝( ) A．0 B．1 C．2 D．2 解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋1＝2，∴|a－b|＝2. 答案：D 2．已知向量a与b的夹角为 120°，|a|＝3，|a＋b|＝ 13，则|b|＝() A．5 B．4 C．3 D．1 解析：∵|a＋b|＝ 13， (a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝13. 将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0. 解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)． 答案：B 3．已知非零向量 a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为() π π A.3 B．2 2π 5π C.3 D．6 解析：∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， 2|a|2＋a·b＝0， 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0. |b|＝4|a|，∴2|