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(8) (8) 第1章 受限因变量模型 这一章讨论响应变量仅仅被部分观测到的情况。引入被部分观测到的潜在随机变量 y*, y*的实际 观测变量为yi。引入二元指示变量 Di，如果a< y*<bi，Di= 1 ；否则，Di = 0。即卩Di表示变量y*是否可 以被观测得到。(a, bi)称为观测区间。如果对于 Di = 1和Di = 0都有实际观测数据，当 Di = 1时， 潜在变量与实际观测变量相等，当 Di = 0时，实际观测变量同样有取值，但不等于潜在变量，这时称 数据被归并(cen sored),即小于ai的数据被归并为ai，而大于bi的数据被归并为bi。用数学符号表示 为： ai,如果 y* ai y y*,如果 ai y* b。 (1) bi,如果 y* bi 如果只有当Di = 1时实际观测变量yi才有观测数据，即：当 Di = 1时，潜在变量与实际观测变量 相等，而当Di = 0时，yi没有观测值，这时称数据被截断(truncated)，即小于ai的数据和大于ai的数 据被截断了。因此截断数据与归并数据的区别在于，对于观测区间外的数据，归并数据将将其都归并 为一点，而截断数据没有观测值。 将潜在随机变量y*的基本模型设定为： TOC \o "1-5" \h \z y* i viO ( 2) 其中i为位置参数， 为刻度参数；Vi为独立于Xi的连续随机扰动项，均值为 0，方差为1,其分布函 * 数、密度函数分别为 F、f。在这些假定条件下，yi*的均值为i，方差为2,分布函数为F( ), * \o "Current Document" y + a b 概率密度函数为f( ——)/ (证明请参见附录 1)。ai < yi*< bi等价于ci」一L V 一L di, 那么yi*被观测到的概率为： \o "Current Document" Pr(ai y* b) Pr(D 1) F(dJ F(cJ (3) 下面对截断数据模型和归并数据模型分别进行介绍 截断数据模型 如果样本数据是从总体的一部分抽取得到，我们把这类数据称为截断数据。比如，研究高收入阶 层(月收入x 10000)的消费与收入的关系，所采集的数据只是位于收入总体分布的一个区间里。假 设所有居民的收入服从正态分布，那么高收入阶层的收入只是在 x 10000的区间里观测得到的。下 面介绍截断数据的分布特征和模型估计。 截断数据的分布特征 如前面所述，截断数据只包括 Di = 1情况下的数据。截断分布是指变量高于（低于）某个设定值 的未截断部分的分布。如果变量只有在高于某一门限值 a时才被观测到（x > a），称之为从下面截断 （truncation from below ）或者是从左边截断（truncation from left）；如果变量只有在低于某一门限值 b 时才被观测到（x < b），称之为从上面截断（truncation from above ）或者是从右边截断（truncation from right）。如图所示。 图一截断分布图（上面截断（左图）、下面截断（右图）） 下面分析截断数据的分布函数、密度函数、均值和方差。 1.截断变量的分布函数和密度函数 给定模型（1）及相应的观测概率（2）,那么第i个观测变量yi的条件分布函数为（证明请参见 附录2）: TOC \o "1-5" \h \z 0, 如果y* q F （y, i）/ F q 丄中 * Fy（yJ i 1 -,如果ai yi 3 （4） F di F G 1, 如果y* bi （注：此处及后面的 aj'b'Ci’di的定义均与前面相同） 密度函数为： 1 f （% J/ 如果 * - -:,如果 ai yi bi fy（yj F di F c, （5） 0, 其他 从截断数据的密度函数（4）式我们可以推出从下面截断或从上面截断的各种不同分布的变量的 密度函数。读者可以参阅下面介绍的几个例子。 例1 截断均匀分布的密度函数和分布函数 如果x*在区间［a, b］上服从均匀分布（uniform distribution ）,那么 (6) (6) f（x）「V F（x）门（a x b）， 如果在x*= C处截断，即实际观测值 x= x*，如果x* C； x= C,如果x*< Co 这是左截断的例子，即右截断点 =b。根据（5）式，在x = c处截断的随机变量x的截断分布的密 度函数为: (7)f(x*) f(X*) (7) P(Di 1) F(b) F(c) 1 (c a) /(b a) b c 分布函数为： F(x) F (c) (x a) /(b a) (c a)/(b a) x c F (x) Pg 1) 1 (c a)/(b a) b c 例2 截断正态分布的密度函数