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6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积;1.向量的夹角
定义:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一
点,作 =a, =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做
向量a与b的夹角(如图所示).;(1)范围:向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π.
(2)当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
(3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直,记作a⊥b.;【思考】
(1)等边△ABC中,向量 所成的角是60°吗?
提示:向量 所成的角是120°.;(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同
吗?
提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们
分别是[0,π]和 ;2.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.?
规定:零向量与任一向量的数量积为0.;【思考】
(1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗,为什么?
提示:不可以,数量积是两个向量之间的乘法,在书写时,一定要严格,必须写成“a·b”的形式.;(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗?
提示:向量的数量积运算结果不是向量,是一个实数.;3.投影向量的概念
如图所示: =a, =b,过B作BB1垂直于直线OA,
垂足为B1,则 叫做b在向量a上的投影向量,得
| |=|b||cos θ|.;4.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.
(1)垂直的条件:a⊥b?a·b=0.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.;(3)模长公式:a·a=|a|2或|a|=
(4)夹角公式:cos θ=______.?
(5)|a·b|≤|a||b|.;【思考】
(1)对于任意向量a与b,“a⊥b?a·b=0”总成立吗?
提示:当向量a与b中存在零向量时,总有a·b=0,但是向量a与b不垂直.;(2)当“cos θ= ”为负值时,说明向量a与b的夹
角为钝角,对吗?
提示:不对,cos θ= =-1时,向量a与b的夹角为
180°.;5.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).;【思考】
“若a·b=a·c,则b=c”成立吗?
提示:不成立.;【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的数量积是向量. ( )
(2)对于向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0. ( )
(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. ( );提示:(1)×.???个向量的数量积没有方向,是实数,不是向量.
(2)×.a·b=0,还可能有a⊥b.
(3)√.;2.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则 =
( )
A.20 B.-20
C.20 D.-20 ;【解析】选B. =| || |cos 120°=5×8×
=-20.;3.若|a|=2,|b|=3,a,b的夹角θ为120°,则a·(4b)
的值为 ( )
A.12 B.-12
C.12 D.-12 ;【解析】选B.由题意,得a·(4b)=4(a·b)=
4|a||b|cos θ=4×2×3×cos 120°=-12.;类型一 向量数量积的计算及其几何意义
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=
1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.0;2.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
E,F分别为BC,CD的中点,则 = ( );3.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上的投影为________,b在a方向上的投影为________.?;【思维·引】
1.利用向量数量积的定义与运算律计算.
2.先分别用基向量 表示 再利用向量数
量积的定义与运算律计算.
3.向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ=
向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos θ=;【解析】
1.选B.因为|a|=1,a·b=-1,
所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.;2.选D.在菱形ABCD中,边长为2,∠BAD=60°,所以
=2×2×cos 60°=2,
又因为
所
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