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固体物理第四章 固体物理第四章 若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量为M1的原子所受的力为：  其运动方程为  同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为： 固体物理第四章 u，v可以是复数，第ｓ个晶胞中质量为 的原子的ω与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。 固体物理第四章 我们将代回运动方程得： 这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到： 固体物理第四章 展开此行列式可得： 即 上式中取“ ＋” 号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“ －”号时，有较低频率称为声学支色散关系。 固体物理第四章 把色散关系作图得： 固体物理第四章 2.光学支和声学支格波 为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka《1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）  coska≈ ，带入色散关系中：取“ ＋”号时， ≈取“ －”号时： ≈ 固体物理第四章 固体物理第四章 由u.v的方程组,我们知道:当ka1时:对“ ＋”号的一支: [这是k∽0时,将 带入u，v方程组中得到的] 固体物理第四章 它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位相是相反的，而且是质心不动的，不同的初基晶胞有一个位相差 。在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光波，它可与光波耦合，但不要与光波混淆。 固体物理第四章 对“ －”号支： 这表明ka《1时，同一初基晶胞中两个原子每时每刻是同位相运动 （振动之比为1），而且连同质心一起作整体运动。不同初基晶胞之间的振动有一个相因子 ，初基晶胞的整体运动存在着类似声波的色散关系ω=vk，有类似声波的性质，故称之为声学支模式。它不是声波。 固体物理第四章 两支模式的区别在于，光学支模式是描写初基晶胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学支模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学支模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。但它不是声波。 固体物理第四章 当k=±   设 对声学支 对光学支 固体物理第四章  3．简正模式计数 在前面的讨论中无论是单原子点阵还是双原子点阵我们只讨论一维情况，还没有涉及到简正模式的偏振状态，在三维空间，对一个波矢对应有3个偏振态，两个横振动，一个纵振动，对于3个不同的偏振态来说原子的力常数是不同的。纵波的原子的运动与波的传播是同向的，原子间的作用力是拉伸力，而横波原子的运动与波的传播是垂直方向的，原子间的作用力是切向力，这样两种力的力常数是不相同的，色散关系也是不一样的。  固体物理第四章 对于单原子晶体，简正模式的色散关系有三支，每支色散关系对应有Ｎ个简正模式，则共有3N个模式，对于双原子点阵，点阵模式的色散关系有6支，3支声学支，3支光学支。每支色散关系各有N个简正模式，故有3N个声学摸，在长波极限下它对应于初基晶胞的整体，这种整体运动的自由度共有3N个，这3N个自由度对应3N个声学模式。 固体物理第四章 固体物理第四章 光学支也有3 N个简正模式，对应与初基晶胞中原子的相对运动，有3N个自由度。因此总的简正模式（包括光学支，声学支）共有3×2×N=6N个，也就是说双原子点阵共有6N个简正模式，这6N个简正模式对应于晶体中所有原子的总自由度。 固体物理第四章 推而广之，对于每个初基晶胞中有P个原子的点阵，简正模式的色散关系有3P支，其中有3支是声学支,对应于声学摸的三种偏振状态,剩下的3P-3都是光学支,每一支的K的取值都有N个,因此共有3PN个简正模式。其中3N个声学模式，剩下的3NP-3N个都是光学模式，无论基晶胞中有多少个原子，色散关系的声学支只能有3支，因为声学支对应于初基晶胞中原子的整体运动而这种运动只能有三个，剩下的3P-3支都是光学支，代表了初基晶胞中原子的相对振动。 固体物理第四章 需要说明的是，在色散关系中，对三维晶体而言，通常要指定波矢K的方向后才能画出对应的色散关系，即ω-K