勾股定理的培优专题.docx

勾股定理专题 考点一 证明三角形是直角三角形 例 1、已知：如图，在△ ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD2 =AD· BD.求证：△ ABC是直角 三角形 . 针对训练： 1、 已知：在△ ABC 中，∠ A 、∠ B、∠ C 的对边分别是 a 、 b 、 c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ ABC 的形状 . 2、如图，已知：在 ABC中， C=90 ，M 是 BC的中点， MD AB 于 D，求证：AD2=AC2+BD2. A D C M B 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例 2、如图，等腰△ ABC 中，底边 BC＝ 20， D 为 AB 上一点， CD＝ 16， BD＝ 12，求△ ABC的周长。 针对训练： 1、 .已知：如图，四边形 ABCD， AD∥BC， AB=4，BC=6， CD=5， AD=3. 求：四边形 ABCD的面积 . 3.已知：如图， DE=m,BC=n, EBC与 DCB 互余，求 BD2+CD2. E D B 考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用  C 例 1.阅读下列解题过程：已知 a、 b、 c 为△ ABC的三边，且满足 a2c2－ b2c2=a4－ b4，试判断 ABC的形状 . 解：∵ a2c2－ b2c2=a4－ b4， (A)∴c2(a2－ b2)=(a2+b2)(a2－ b2 )，(B)∴ c2=a2 +b2，（ C)∴△ ABC 是 直角三角形 . 问：①上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的请写出该步的代号 _______； ②错误的原因是 ______________；③本题的正确结论是 __________. 例 2. 学习了勾股定理以后 ,有同学提出“在直角三角形中 ,三边满足 a 2 b 2 c2 ,或许其他的三角形三边也有这样的关系” .让我们来做一个实验！ (1)画出任意的一个锐角三角形 ,量出各边的长度 (精确到 1 毫米 ),较短的两条边长分别是 a ______mm ； b _______mm ；较长的一条边长 c _______mm 。 比较 a2 b 2 _____ c2 (填写“＞” ,“＜” ,或“＝” )； 画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度 (精确到 1 毫米 ),较短的两条边长分别是 ______mm ； b _______mm ；较长的一条边长 c _______mm 。 比较 a 2 b 2 _____ c 2 (填写“＞” ,“＜” ,或“＝” )； (3)根据以上的操作和结果 ,对这位同学提出的问题 , 你猜想的结论是 : ； 。 ⑷ 你猜想 a2 b2 与 c2 的两个关系，任 其中一个 利用勾股定理 明。 A A A C B C B C (3) B (1) (2) 例 3.如 ，南北向 MN 我国的 海 ，即 MN 以西 我国 海，以 公海 .上午 950 分，我国反走私艇 A 正 方有一走私艇 C 以每小 13 海里的速度 向我 海开来， 便立即通知正在 上巡 的我国反走私艇 B 密切注意 .反走私艇 A 通知反走私艇 B:A和C 两艇的距离是 13 海里， A、 B 两艇的距离是 5 海里 .反走私艇 B 得距离 C艇是 12 海里， 若走私艇 C 的速度不 ，最早会在什么 入我国 海 ： 1 察下列各式： 32＋ 42＝ 52；82＋62＝102 ；152 ＋82＝172；242＋102＝ 262?，你 有没有 其中的 律 用含 n 的代数式表示此 律并 明，再根据 律写出接下来的式子． 延伸 ：如 ，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，P 是△ ABC内的一点， 且 PB=1，PC=2， PA=3，求∠ BPC的度数． 总结提高： 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 1∶ 2∶3 B.三边长的平方之比为 1 ∶2∶ 3 C.三边长之比为 3∶ 4∶ 5 D.三内角之比为 3∶ 4∶ 5 2.如图 18－ 2－4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，AD∥ BC，斜腰 DC 的长为 10 cm， ∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ________ cm（结果不取近似值） . 图 18－2－4 图 18－ 2－5 图 18－ 2－6 3.如图 18－ 2－5，以 Rt△ ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S、S、S，且 S=4， 1 2 3 1 S2=8，则 AB 的长为 _________. 4.如图 18－ 2－ 6，已知正方形 ABCD的边长为 4，E为 AB 中点