三角函数的积化和差与和差化积.docxVIP

精品文档 精品文档 三角函数的积化和差与和差化积孟 一、 课标要求：【富 利用两角和与差的正弦、余弦公式推导导出积化和差、和差化积公式，但不要求记忆 二、 知识提要：田 三角函数的积化和差公式: 三角函数的积化和差公式: cos 口 sin p= y[sin(cr+ p) — sin (or - Q]_ cos Gcqs ￡=二[cgs(熬十Q +cQE(d—，①]. sin ti'sin p = — —[co￡(￡f-l- fi'\ - ces(of- ￡)] ?其中前两 ?其中前两 sin a；cos 6= —[sm(￡i■+ 5) +sinfai-- Q)]. 个公式可合并为一个： 三角函数的和差化积公式：‘-J 口 -.此+0 a- j8 $in <T + sm p= 2sin cos TOC \o "1-5" \h \z f 2 2 总 r a-\- . a- j8 sin a— sin p = 2 cos sin . 2 2 -巾 就+0 a- cos c+cos p = 2 cos cos 2 2 a B □十 0 - a_0 cos G — cos sin 2 2 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是: or+ E a- p 其中前两个公式可合并为一个： sin* + sin卜=2 sin - cos - 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思 想? 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差， 才能直接运用公式化成积的形式， 如果一 个正弦与一个 余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积 合一变形也是一种和差化积 ? 三角函数的和差化积， 可以理解为代数中的因式分解， 因此，因式分解在代数中起什 么作用，和差化 积公式在三角中就起什么作用 ? 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟， 不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交 替使用?如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幕公式，然后应用和差化 积、积化和差公式交替使用进行化简或计算 ?和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化 时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化， 因此有可能产生互消项或互约 因式，从而利于化简求值?正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段 ? 精品文档 精品文档 2 2 三、典型例题： 把下列各式化为和或差的形式: (y2cos(0d - )sin(a + 45* ) (2) sin6! cos3 a 解： J) 2 83^-45" )sin(a + 45° ) =an[tce-45# ) + (巧4亍)]-sm[(a - 45s )-(ct + 45* )] =an.2^an90Q = sin2^ + 1 ：2) sin cd ：2) sin cd cogJ a 1 =—sin 2 od 1 4 COS20! —sin 2 w — si ti 4a4 8=—sin —sin 2 w — si ti 4a 4 8 4 4 2 .求值：sin6° sin42° sin66 ° sin78° 屁 i 解:[法一 ]sin6° sin42° sin66° sin78 -(cos36e-c^sl20c -(cos36e -c^sl20c〕 -曲72° ) ? ?丁花（cm—遇存亦com ] 1 1 二花打（沁4 sml8fl -cos 36Q cos725 ■ sin 18e -sin 54° sin 12° ' )_16 [法二]sin6 ° sin42 ° sin 66° si n78 ° San6° cos6° cosl2° cos24° C0s48° 2cqs 6° si 口 12中 cos 12° cos 24* cos48° 2cos6° an 2^1° cos 24° cos48° 4 cos 6° sin^S0 CO548* sin 96" 1 ~~8cos6° = 16 cos 6° =16 十 2戳 4r Sir 乎证 cos— + cos-^- + cos — 精品文档 精品文档 .求值:cos24°— sin6-cos72° _2t.2x￡ sin —~解：原式=(sin66 ° -sin6 ° )-cos72 ° =2cos36° sin30° -cos72 °=cos36 ° -cos72° =2sin54 ° sin 18 .求值: cos24°— sin6 -cos72° _ 2t .2x ￡ sin —~ 解：原式=(sin66 ° -sin6 ° )-cos72 ° =2cos36° sin30° -cos72 ° =cos36 ° -cos72° =2sin54 ° sin 18° =2cos36°