小学奥数数阵图.docx

第十七周 数阵图 把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。 数阵是 由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 【解题技巧】 数阵的分类： 封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再 利用和与顶点的数就容易被填出。 （1—6） 辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。 复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。 数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表 达形式多为给出一定数量的数字，要求填入 指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 求出条件中若干已知数字的和。 根据“和相等” ，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 确定重复用数后，对照 “和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将 2 、 3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9、 10 填入下图中的 9 个方格中，使每行、每列及对角 线之和相等，小明已经填了 5 个数，请将其余 4 个数填入。 【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然 后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18 ； 第二行中间的数是： 18-8-4=6 ； 第三行中间的数是： 18-7-9=2 ； 第一行第一个数是： 18-4-9=5 ； 第一行中间的数是： 18-3-5=10 ； 【举一反三 1 】 （第十届走美杯初 ） 小 需要构造一个 3× 3 的乘 魔方，使得每行、每列、每 条 角 上三个正整数的乘 都相等； 在他已 填入了 2 ， 3， 6 三个数，那当 小 的乘 魔方构造完 后， x 等于 ______ 。 【银牌例题】 （第十四届中 杯初 真 ）  将 0～9  填入下 圈中，每个数字只能  使用一次， 使得，每条 段上的数字和都是  13。 【答案】 【解析】 如右 ， a-h 被算了 3 次， x 被算了 4 次， y 被算了 2 次 10 × 13=3 ×（ 0+1+2+ ?? +9） +x-y → y-x=5 由于 a+g+b=c+x+y=h+e+d=13 所以 c+d=a+h=b+x=7 → f=6 所以， a,b,c,d,x,h 分 所以 e,g,y 分 1、 8、 9  → f=6 0、 2、3、4、5、7 又 y-x=5 ，所以 y=8 或 9 若 y=8 ， x=3 → b=4 → e=1 → g=9 → a=0 → d=10 矛盾 所以 y=9 → x=4 → b=3 → e=1 → g=8 → a=2 → d=7 → c=0 → h=5 【 一反三 2 】 在下 的七个 圈中各填一个数，要求每一条 上的三个数中，当中的数是两 数的平均数。 在已 填好了两个数，那么 x 是 。 【金牌例题】 （第十一届“走美杯”初赛） 将 0 ～ 5 这 6 个数字中的 4 个数字填入如图的圆圈中， 每条线段两端的数字作差（大减小），可以得到 5 个差，这 5 个差恰好为 1-5 ，在 所有满足条件的填法中，四位数的最大值是 。 【答案】 5034 【解析】 因为四位数 ABCD的值最大，因此 A=5，并且 B 和 C 中有一个为 0 ， B 作为百位数字 应尽量大。 若 B=4 ，则 C=0，但此时 D 无法填出， 因此 B 最大为 3 ， B=3 时， C=0，此时 D=4。 因此，最大值为 5034 ． 故答案为： 5034 。 【举一反三 3 】 （第十一届希望杯真题） 将 1 ， 2 ， 3， 4， 5， 6 随意填入图中的小圆圈内，将相邻 两数相乘，再将所得的 6 个乘积相加，则得到的和最小是 。 ． 【王牌例题】 （第十届走美杯真题） 请将 1、 2、 3、 4、 5、 6、 8、 9、 10 、 12 这 10 个数填入右 图圆圈中，每个数用一次，使得每条线上 4 个数的和都相等。 【答案】 【解析】 每条线上的和是： （ 1+2+3+4+5+6+8+9+10+12 ）× 2 ÷ 5=24 ； 假设，