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函数的奇偶性与周期性 基础知识导航 重爲敎材扫洽盲点 1 ?函数的奇偶性 奇函数 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都有f(— x)二—f(x)，那么函 都有f(—X)二f(x)，那么函数f(x)就叫 数f(x)就叫做奇函数 做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 2.函数的周期性 周期函数 对于函数y = f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x + T) 二f(x)，那么就称函数y二f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小 正周期. 3?判断下列结论的正误(正确的打“V”，错误的打“X”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，贝U f(-x) + f(x) = 0.(V) ⑵偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点. (X) ⑶如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x) = f(x) + g(x)是偶函数.(V (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (V) ⑸若T是函数的一个周期，则nT(n € Z，n工0)也是函数的周期.(V) ⑹函数f(x)在定义域上满足f(x+ a)二—f(x)，则f(x)是周期为2a(a >0)的周期函数.(V ⑺函数f(x)= 0，x € (0,+x)既是奇函数又是偶函数.(X) 若函数y = f(x + a)是偶函数，贝U函数y = f(x)关于直线x = a对称.(门 若函数y = f(x + b)是奇函数，贝U函数y = f(x)关于点(b,0)中心对称.(话 若某函数的图象关于y轴对称，贝U该函数为偶函数；若某函数的图象关于 (0,0)对称，则 该函数为奇函数.(话 毛点典例领航 核卞号点深化突破 考点一判断函数的奇偶性 命题点 用函数奇偶性定义判断 [例1] (1)下列函数为奇函数的是( ) A . y = - x B. y = ex C. y = cos x D . y ex e x 解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于 B， f( — x)^-f(x)，故不符合要求；对于 C,满足f( — x) = f(x)，故不符合要求；对于 D， if(— x) = e — x— ex = — (ex — e—x) = — f(x)，：y= ex — e—x为奇函数，故选 D. 答案：D ⑵下列函数中为偶函数的是( ) 1 A . y =一 B. y= lg|x| C. y = (x — 1)2 D. y = 2x x 解析：根据奇、偶函数的定义，可得 A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数. 答案：B ⑶函数 f(x)— ‘3 — x2+」x2 — 3，则( ) A .不具有奇偶性 B.只是奇函数C.只是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 3 — x2 ^0， 解析：由 x2 — 3， ???函数f(x)的定义域为{— !3 , ：；3}. 对任意的 x € {—篦、3，辿 3} , — x € { — : 3，飞:..；：3}，且 f( — x) = — f(x) = f (x) = 0, —f (x)既是奇 函数，又是偶函数. 答案：D ［方法引航］判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法: (计穩用)的娄系〕 (计穩用)的娄系〕 ⑵图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称. (3)性质法： ① 奇+奇 疋奇， “六 吞”日吞 奇一奇 疋奇, ②“偶+偶”是偶， “偶—偶”是偶, “奇?奇”是偶，“奇*奇”是偶; “偶?偶”是偶，“偶宁偶”是偶; ③“奇?偶” 日吞 “吞亠/甲”日吞 是奇,奇—偶 疋奇. 跟踪巡航 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)= (x (1)f(x)= (x + 1) ⑵ f(x)二 lg — x 解:⑴要使函数有意义，则市R, 解得-1 v x<1，显然f(x)的定义域不关于原点对称, ???f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 1 — x ⑵由苗＞0? -1 VXV1，定义域关于原点对称? 又f(-X)二ig戶二ig (戶)1二—9戶二—f(x), f(—X)斗(X)?故原函数是奇函数. 1 — X 1 X 1 + X 考点二函数的周期性及应用 命题点1? 命题点 1?周期性的简单判断 2.利用周期性求函数值 [例2] (1)下列函数不是周期函数的是( ) A. y = sin X B. y= |sin x| C. y = sin|x| D . y = sin(x + 1) 解析：y = sin x与y= sin(x + 1)的周期T= 2 n, B的周期T=n, C项y =