利用类比思想解决抽象函数问题[曾锦锋].docx

4 4 利用类比思想解决抽象函数问 我们把没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。由于抽象函数的这种表现形式具有抽 象性，其性质隐而不壺，很难找到解决问题的突破口。其实，大量的抽象函数都是以中学 阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据 题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路。 根据教学实际，对于抽象函数许多学生感到束手无策，就是老师给出解答，学生也表示难 以接受。苴实，如果解题前能够启发学生由题目条件联想一个已经学过的初等函数，那么 问题就会迎刃而解。本文通过题目所提供的抽象函数的恒等条件进而联想到某些初等函数 的性质来解决抽象函数的问题。 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数° 例1..已知函数/(X)对任意实数x,y,均有f(x+y) = /(X)+/()?且当兀0时, /(x)0,/(-l) = -2,求/(X)在区间[一2, 1]上的值域。 分析：由题设可知,函数fW是y = gk H o)的抽象函数，因此求函数f(x)的值域， 关键在于硏究它的单调性。 解：设西 v x2 则 x2 -x, 0,当x0时 f(x) 0 ,则有 f(x2 -Xj) 0, fM = f[(x2-x}) + x}] = f(x2-x}) + f (召) 整理得f(x2)-f(xl) = /(x2-x,)0.故函数f(x)为增函数 又因为/U+y) = /(x)+/(y)tii成立，令y=-x,则ijf(0) = /(x)+/(-x),再令 x = y = 0,则/(0) = 2/(0),即/(0) = 0,故/(-x) = -/(x), /(x)为奇函数， 所以/(!) = -/(-!) = 2,又/(-2) = 2/(-1) = M. 的值域为[一4, 2]。 例2.已知函数/(X)对任意x,ywR,满足条件/(x) + /(y) = 2 + /(x+y),且当x0 时,/(x)2,/(3) = 5,求不等式 f(a2-2a-2)3 的解。 分析：由题设条件可猜测:/(a)是y = x + 2的抽象函数，且f(x)为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 x} x2 则兀一斗〉0,当x0时 /(x) 2,故 f(x2 -x,) 2，贝 ij f(x2) = f[(x2-xl) + xi] = f(x2-xl) + f(xl)-22 + f(x})-2 = f(xl) 即故函数/(x)为增函数 /(3) = /(2+D = /(2) + /(1)-2 = [/(I) + /(I) _/(2)] + /(I)-2 = 3/(1) _4, 又因为/(3) = 5,则 /(1) = 3? fl； f(a2-2a-2)/(l) -2^-2 1,即 /一2“一30?解得不等式的解为一\a3. 指数函数型抽象函数 指数函数型抽彖函数，即由指数函数抽象而得到的函数。 (l)/(Xj+x2) = f(x^f(x2) =/(x) =ax ⑵八D = 嵌⑴ 例3.设函数/(X)的定义域是(—0,+O0),满足条件:存在丙也，使得/3)*(尤2)， 对任何X和y, f(x+y) = 成立。求： (1)/(0)：⑵对任意值x,判断/(x)值的正负。 分析:由题设可猜测/(X)是指数函数y = /的抽象函数从而猜想/(0) = 1且/(%) 0。 解：(1)令 y = 0 代入 f(x+y) = fM.f(y),则 /(x) = /(%)./(0),所以 /(x)[l-/(0)]=0o若/(x) = 0,则对任意州工花，有fW = /Cv2) = 0,这与题设矛 盾，故 /(%) 0 ,且 /(0) = 1 o (2)令 y = xH0,则 /(2x) = /(x)./(a) = [/(x)]2 0 ,又由(1)知 f(x) 0 , f(2x) 0,即f(x) 0 ,故对任意x, f(x) 0恒成立。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 ⑴/何?兀2)= f(x} + x2)今 /(x) = logn X x ⑵/(—) = /(xI)- f(x2) =J f(x) = logn X ■ ⑶ /(x) = -/(-) =/()= log? X X (4)/(x1) + /(x,) = /(-^-^-)^/(x) = log/ix 1 + “2 例4. (2005绵阳第一次诊断性测试)设/(x)是定义在(0,+s)上的函数，对任意的 x?x2e(0,+oo),都有/(x1.x2) = /(x,) + /(x2),则关于函数f(x),你能得到什么结