椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明.docx

椭圆上一点P处的切线平 分焦点三角形外角的证明 Newly compiled on November 23, 2020 椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明 2 2 题目：已知斤，代为椭圆冷+「= 1(。>/?>0)的焦点，P为椭圆上一点。求证：点P - cr b- 处的切线PT必平分APF,F2在P处的外角?在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理. 证法 1 设 F,(-c,O),F2(c,O), P(x0,y0). 对椭圆方程4 + = l两边求导得，算+器一0 cr b" cr 由到角公式知 _ /?2ca0 -crb2 _ b^cx^-a2) _ h2 J(厂abb _/) cy0 1 y()十b忑 同理论1=匕=寸莎止. ]+仆 1 旳叭 臥 x0 + c'a2y0 ??? Zl, Z2 € (0, 7T), ??? Z1 = Z2, 又 Z1 = Z4, ??? Z2 = Z4 证法2设F,(-c,0),竹(c,0), P(x0,y0).如图1,过耳、為作切线PT的垂线,垂足 分别为M、N. ???切线PT的方程为芳+活"则点到PT的距离为 ???、PMF\S \PNh ??? Z1 = Z2, X'.* Z1 = Z4 J Z2 = Z4. 两种证法都是由Z1 = Z2导出，如图?设PD为法线（即PD丄切线PT）,则PD平 分ZF\PF_故得如下重要定理. 定理在椭圆上任意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角. （到角公式） 把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到 角.tan6=(k2-k l)/(l+kl- k2)