最全面三角函数的最大值与最小值2021.docx

学习好资料欢迎下载 学习好资料 欢迎下载 第 第 PAGE 1 页，共 7 页 求函数地最大值与最小值为高中数学中地重要内容，也为高考中地常见题型，本文对三角函数地求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。 一、化成 地形式 【例 】在直角三角形中，两锐角为 A 与 B，求 地最大值。 【解析】 由 ，得 ，则当 时， 有最大值 。 积 极向上 ， 【例 】求函数 在 上地最大值与最小值。 探 索自己本 身 【解析】 价值 ， 学业有成 由 ，得 ， 得 ， 则当 x=0 时， ；当 时， 【点评】这类题目解决地思路为把问题化归为 地形式， 一般 而言， ，但若附加了 x 地取值范围，最好地方法为通过图象加以解决。 例 中，令 ，画出 在 上地图象（如图 ）， 积极向上 ， 探索自己 本 值。 身价值 ， 学业有成 图 不难看出 ，即 。 应注意此题容易把两个边界地函数值 与 误认为为最大值与最小 二、形如 地形式 【例 】求函数 地最大值与最小值。 【解析】由已知得 ， 即 ， 所以 因 ， 即 解得 ， 故 【点评】上述利用正（余）弦函数地有界性，转化为以函数 y 为主元地不等式，为解决这类问题地最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆地参数方程 与斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣地同学不妨试一试其他解 积 极 法。 向上 ， 探索自己本 身 三、形如 地形式 价值 ， 学 业 【例 4】求函数 地最大值与最小值。 有 成 【解析】 由 ，得 ， ， ，即 【点评】此题为利用了分离分母地方法求解地。若用例 地解法同样可求，有兴趣地同学不妨试一下，并作解法对比。 四、形如 地形式 【例 5】求 地最小值。 【解析】设 ，则 。 积极 向 从图 中可以看到 在区间 上为减函数（也可以利用函数地单 上 ， 调性定义来证明这一结论）。 探 索自己本身价值 ， 学业有成 当 时， 【点评】若由 ，可得最小值 为错误地。 这为因为当等号成立时， ， 即 为不可能地。 若把此题改为 就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。 五、利用 与 之间地关系 【例 6】求函数 地最大值与最小值。 【解析】设 ， 积 极 则 ，且 。 向上 探， 由于 ， 探 索自 己 故当 t= 时， ；当 时， 。 本 身价 值 【点评】 这三者之间有着相互制约，不可分割 ， 学 业 地密切联系。 为纽带，三者之间知其一，可求其二。令 换 有 成 元后依题意可灵活使用配方法、 重要不等式、 函数地单调性等方法来求函数地最值。 应该注意地为求三角函数地最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣地同学不妨自己探讨一下。 【练一练】 求函数 地最大值与最小值。 求函数 地最大值与最小值。 已知 ，求函数 地最大值与最小值。 【答案】 1.（提示：由 1. （提示：由 ） 2. （提示：由 ） 3. （提示：令 ， ，则 。 ， 解得 。 于是 ，容易求解） 索， 探 索 自己本身价值 ， 学业有成 积极向上 ， 探索自己本身价值 ， 学业有成