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2020-2021学年上海市复旦附中高二10月月考数学试卷2020.10
一. 填空题
1. 直线的倾斜角为
2. 方程组有无穷多解,则
3. 直线与直线的夹角
4. 如图,在△中,,是上一点,且,则的值等于
5. 已知|a|=1,|b|=2,a、b的夹角为60°,则a
6. 已知点在直线上,点在直线,、的中点为,且,则的取值范围是
7. 直线与直线平行,则
8. 已知,若直线与直线互相垂直,则的最大值等于
9. 点到直线的距离的最大值为
10. 定义为向量到向量的一个矩阵变换,其中,
是坐标原点,已知,则的坐标为
11. 已知直线与两坐标轴围成一个三角形,该三角形的面积记为,当时,
的最小值为
12. 已知直角△中,,,,是△的内心(即三个内角平分线所在直线的交点),是△IBC内部(不含边界)的动点,若(),则的取值范围是
二. 选择题
13. 设a、b是非零向量,“”是“a∥b”的( )条件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
14. 已知数列的通项公式,前项和为,则关于数列的极限,下面判断
正确的是( )
A. 数列的极限不存在,的极限存在 B. 数列的极限存在,的极限不存在
C. 数列、的极限均存在,但极限值不相等 D. 数列、的极限均存在,且极限值相等
15. 过点作直线,经过点和,且,则这样的直线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. 在某型号的图像计算器中,输入曲线方程,计算器显示下图中的线段,
则线段的曲线方程为( )
A.
B.
C.
D.
三. 解答题
17. 已知函数().
(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒有解,求实数的取值范围.
18. 已知向量,,.
(1)若,求实数的值; (2)若,求的最小值.
19. 在平面直角坐标系中,已知点,,,.
(1)证明:存在点使得,并求的坐标;
(2)过点的直线将四边形分成周长相等的两部分,求该直线的方程.
20. 如图,平面直角坐标系内,为坐标原点,点在轴正半轴上,点在第一象限内,.
(1)若过点,当△的面积取最小值时,求直线的斜率;
(2)若,求△的面积的最大值;
(3)设,,若,求证:直线过一定点,并求出此定点坐标.
21. 在平面直角坐标系内,对于任意两点,,定义它们之间的“曼哈顿距离”为.
(1)求线段()上一点到原点的“曼哈顿距离”;
(2)求所有到定点的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长;
(3)众所周知,对于“欧几里得距离” ,有如下三个正确的结论:
① 对于平面上任意三点、、,都有;
② 对于平面上不在同一直线上的任意三点、、,若,则△是以为直角的
直角三角形;
③ 对于平面上两个不同的定点、,若动点满足,则动点的轨迹是线段、的垂直平分线;
上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确?说明理由.
2020-2021学年上海市复旦附中高二10月月考数学试卷参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 2 6. 7. 8.
9. 10. 11. 8 12.
二. 选择题
13. A 14. C 15. B 16. A
三. 解答题
17.(1);(2).
解:(1)由题意得f(x)≤0,得f(x)=1-2xx≤0,
∴ 2x-1x≥0,解得x<0或者x≥12,∴x的取值范围是
(2)∵f(x)=1x-2≥a﹣x在上恒有解,
∴a+2≤g(x)=1x+x在上恒有解,
又∵g(x)=1x+x在
∴a+2≤g(x)max=g
∴a≤5,即m的取值范围是(﹣∞,43]
18.(1);(2).
解:(1)设=(m,n),∴,解得或,
当=(﹣1,2)时,∴=x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣1,2)=(4x﹣1,2﹣3x),
∵,∴3(4x﹣1)﹣(2﹣3x)=0,解得x=,
当=(﹣2,﹣1)时,∴=x(3,﹣1)+(1﹣x)(﹣2,﹣1)=(5x﹣2,﹣1),
∵,∴3(5x﹣2)+1=0,解得x=,
(2)由(Ⅰ)可知,当=(﹣
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