大学物理：力学11分析力学.ppt

勒让德变换 为独立变量 其中 如把 x, v 作为独立变量 令 其中 哈密顿函数 哈密顿正则方程 一阶反对称微分方程组 例：弹簧振子 从哈密顿原理导出哈密顿正则方程 由于端点固定 由于 任意变化 相空间 通往混沌的途径 进一步学习 约束：理想约束，完整约束 自由度：拉格朗日方程的数目 广义坐标，广义力（主动力），广义动量 哈密顿量和能量的差别 虚位移→达朗贝尔方程→拉格朗日方程 分析力学→量子力学 切丛（拉格朗日），余切丛（哈密顿） * d 分析力学 少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。 他写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》(1788)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称： “…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．” 1736－1813 法国数学家 拉格朗日 Lagrange, Joseph Louis 1维质点 拉格朗日方程 令： 是坐标和速度的函数 例：弹簧振子 2维质点（直角坐标） 例：抛体 水平方向动量守恒 令： 水平动量 L中不显含x，则相应的动量守恒 2维质点（极坐标） 广义力 角动量守恒 角动量为常数 令： 有心力： m M q s x 设m坐标 s，M坐标 x 则M速度： m速度 水平： 垂直： 例：斜面、木块、地面皆光滑 广义坐标 m m O2 O1 x1 x2 k k k 例：耦合双振子 对角化 简正坐标 设m坐标 s，M坐标 x 纯滚动条件： 例：斜面、圆柱 (r) 纯滚动、地面光滑 则M速度： m速度 水平： 垂直： 哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算术；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑． 哈密顿量是现代物理最重要的量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。  1805-1865 爱尔兰数学家 哈密顿 Hamilton，William Rowan 哈密顿原理 最小作用量原理 d为变分符号，是d的推广 在可能的各种运动中，实际运动作用量取极小 决定论 其中S为作用量 实际 假想 定性说明：（自由落体） 1、开始落得慢些，然后逐步增加速度； 2、开始落快一些，然后再逐步慢下来。 作用量是动能减势能并对经历作累加。在势能大的地方花的时间多会有好处。 因此1过程作用量更小 最速落径问题 初速度为0的质点在重力作用下，沿着某根竖直平面内最快通过连接两个定点 A, B的曲线 最快： 需耗时： 变分 d为变分符号，是d的推广 在端点处因被固定， 因此变分为0 d分析函数 y 带来的变化，不考虑自变量 x 的变化引起的改变 变分和求导可交换 欧拉方程 由于端点固定 由于 任意变化 所以 前的系数 = 0 初积分 若 f 中不含 x 能量守恒 最速落径问题 设 旋轮线 映射到力学 能量积分 若L不显含时间 即为能量 时间的均匀性导致能量守恒 例：弹簧振子 从哈密顿原理导出拉格朗日方程 分部积分 由于端点固定 由于 任意变化，且互相独立 所以 前的系数 = 0 拉格朗日力学 s 为自由度 广义坐标： 广义速度： 广义动量： 循环坐标： L不显含的广义坐标 广义动量守恒： 对应于循环坐标的广义动量守恒 * d