（教师版）第11讲 全等辅助线（二）--尖子班.docx

PAGE 1 第11讲 全等辅助线（二） 知识点1 半角模型 我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型. 常见的图形为正方形，正三角形等. （1）正方形内含半角: 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，易证：EF=BE+DF. （2）正三角形内含半角: 如图，在四边形ABCD中，AB=AC=BC,BD=DC， E、F分别是AB、AC边上的点，∠BDC=120° , ∠EDF=60°，易证：EF=FC+BE. 【典例】 例1 （2020秋?天心区月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【解答】 （1）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 AM=BE∠A=∠DBE ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 DM=DE∠MDN=∠NDE ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB， 在△DAM和△DBE中 AM=BE∠A=∠DBE ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 DM=DE∠MDN=∠NDE ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中 AM=BE∠DAM=∠DBE ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中 DM=DE∠MDN=∠NDE ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 【方法总结】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度． 例2（2019秋?房山区期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝α，∠ABC＝β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC＝BE． （1）若AB＝AC，点E在AD延长线上． ①当α＝30°，点D恰好为BC中点时，依据题意补全图1．请写出图中的一个“半角三角形”：　△ABD或△ACD或△BDE或△ABE　； ②如图2，若∠BAE＝2α，图中是否存在“半角三角形”（△ABD除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，若AB＜AC，保持∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系：　∠BAE＝α+β或∠BAE+α+β＝180°　． 【解答】解：（1）①如图1， 图中的一个“半角三角形”：△ABD或△ACD或△BDE或△ABE； 故答案为：△ABD或△ACD或△BDE或△ABE． ②存在，“半角三角形”为△BAE． 如图2，延长DA到F，使得AF＝AC，连接BF．