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八年级数学上第一章勾股定理综合难题 1 一、用面积证明勾股定理（写出每种证明方法） 方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形。 方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形。 方法三： 将四个全等的直角三角形分别拼成如图（ 3）— 1 和（ 3）— 2 所示的两个形状相同的正方 形。方法四： 如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 二、勾股定理的应用， A 组： 1．如下图 1，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上 底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是 ? 2、如下展开图 2，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形 . 现有一小虫从顶点 A 出发， 沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为 厘米 ? B A  A D  F A D E C A C B  B C E B F C 3．如上图 3，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，长 BC 为 10cm．当 小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ）．此时 EC 有 ？ 4．如上图 4，将一个边长分别为 4、 8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合， 则 EB 的长为 。 1 5． 已知：如下图 1，在△ ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交 BC于D，垂足为 E，BD=4cm． 则AC 的长为 ． 6、如下图 2，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠， 使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 。 C D A E B 、如上图 ，在矩形 ABCD 中， AB 6, 将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在 C 处，若 7 3 AE：BE 1：2 ，则折痕 EF 的长为 。 8．如下图 1，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 △ DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EB∶CE＝_________． 、如下图 2，AD 是 △ ABC 的中线，∠ o，把 △ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C′的位置， 9 ADC ＝ 45 BC＝2，则 BC′＝ _________． A B C′ F A E D C B C D 10．如上图 3，有一块塑料矩形模板 ABCD ，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A 、D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，自己做出图形， 能否使 CE＝2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 2 11、如图所示，在 Rt ABC 中, BAC 90 , AC AB, DAE 45 ,且 BD 3 , CE 4 ,求 DE 的长 . 12、如图，在△ ABC 中，AB=AC=6 ，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PC·PB+PA2 的值。 A B C P 13、如图在 Rt△ ABC 中, C 90 , AC 4, BC 3 ，在 Rt△ ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形， 使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三 边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形） 14．如图，A 、B 两个村子在河 CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为 AC=1km ，BD=3km ，CD=3km， 现在河边 CD 上建一水厂向 A 、 B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。 3 15．已知：如下图， △ABC 中，∠ C = 90 ，°点 O 为△ ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥BC， OE⊥ AC ，OF⊥AB ，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB ， AC 和 BC 的距离 ，等于 cm。 小河 C 北 E D 牧童 A 东 O B 小屋 A B F 1