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自主学习导引
真题感悟
1.(2012 ·浙江 ) 设公比为 q( q> 0) 的等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn,若 S2= 3a2+ 2,S4=3a4
2,则 q= ________.
解析 利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解.
解法一 S4= S2+ a3+ a4= 3a2+2+ a3+ a4= 3a4+ 2,
将 a3=a2q, a4= a2q2 代入得,
3a2 +2+ a2q+ a2q2 = 3a2q2+ 2,化简得 2q2- q- 3= 0,
3
解得 q= 2( q=- 1 不合题意,舍去 ) .
解法二 设等比数列 { an} 的首项为 a1,由 S2=3a2+ 2,得
a1(1 +q) = 3a1q+ 2. ①
由 S4=3a4+ 2,得 a1(1 + q)(1 + q2) = 3a1q3+ 2. ②
由②-①得 a1q2(1 + q) = 3a1q( q2- 1) .
3
∵q> 0,∴ q= 2.
答案
3
2
2. (2012 ·课标全国卷 ) 已知 { an} 为等比数列, a4+ a7= 2, a5a6=- 8,则 a1+ a10=
A. 7B.5C.- 5D.- 7
解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解.
4
7
1
3
1
6
由题意得
4
5
=
2
9
=- 8,
5 6=
1
× 1
1
a a
a q
a q
a q
3
=- 2,
3
1
q
或
q =- 2,
∴
a1= 1
a1=- 8,
a1+a10= a1(1 + q9) =- 7.
解法二 利用等比数列的性质求解.
4+ 7= 2,
4=- 2,
a
4= 4,
由
解得
或
a5a6= a4a7=- 8,
a7 =4
a7=- 2.
3
3
1
q =- 2,
q =-
,
∴
或
2
1= 1
a
a1=- 8,
a1+a10= a1(1 + q9) =- 7.
答案 D
考题分析
等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点,突出了通性通法.三种题型都有可能出现,有较容易的低档题,也有与其他知识交汇命题的压轴题.
网络构建
高频考点突破
考点一:等差、等比数列的基本运算
【例 1】(2012 ·盘锦模拟 ) 已知数列 { an} 是各项均为正数的等比数列,
且 a1+ a2= 2
1
1
+
,
a1
a2
3
4
1 +
1
.
a
+ a
= 32 a3
a4
求数列 { an } 的通项公式;
2
(2) 设 bn= an+ log 2an,求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
[ 审题导引 ](1) 利用所给的条件式求出 a1 与 q,可求 an;
把数列 { bn} 分解为一个等差数列与一个等比数列,分组求和.
[ 规范解答 ]
(1) ∵ 1+ 2=2
1
1
1
2
+
a2
=2× a + a
,
a a
a1
1 2
a a
1
1
3
4
34
+
=32×
a + a
a + a = 32 a3
a4
3 4
,
a a
数列 { an} 各项均为正数,∴
a1a2= 2,a3a4= 32,
a3a4
q = = 16,∴ q= 2, a1a2
又
1 2=
1· 1
= 2,∴ 1= 1,∴
a
n-1
n- 1
= 1
= 2 .
n
2
,∴ b = 4
n- 1
,
n
n
2 n
n
∴Sn=b1+ b2+ b3+ + bn
=(4 0+ 41+ 42+ + 4n- 1) + (0 + 1+2+ + n- 1)
4n-1 n n- 1
= 3 + 2 .
【规律总结】
方程思想在等差 ( 比 ) 数列的基本运算中的运用
等差 ( 比) 数列的通项公式、求和公式中一共包含
a1、d( 或 q) 、n、an 与 Sn 这五个量,如果已
知其中的三个,就可以求其余的两个.其中
a1
和
d
( 或
) 是两个基本量,所以等差数列与等
q
比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.
[ 易错提示 ] 等差 ( 比 ) 数列的基本运算中,容易出现的问题主要有两个方面:一是忽视题中
的条件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解;二是不能灵活利用等差基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.【变式训练】
( 比) 数列的
1. (2012 ·安徽师大附中模拟 ) 等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn,已知 a5= 8, S3= 6,则 S10
- S7 的值是
A. 24B. 36C. 48D. 72
解析 ∵ S3= 3a2= 6,∴ a2= 2,
又 a5=8,∴ 3
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